Para o exercício abaixo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2}(x) d x
Calcule:
a) Valor exato da integral;
b) Valor aproximado da integral pela Regra do trapézio;
c) Valor aproximado da integral pela Primeira Regra de Simpson;
d) Valor aproximado da integral pela Segunda Regra de Simpson;

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)\,dx
de forma exata e também aproximá-la numericamente pelas regras do trapézio, de Simpson 1/3 e de Simpson 3/8. Vamos usar a identidade trigonométrica para o exato e depois aplicar as fórmulas de cada método numérico.

Passo 2

Para achar o valor exato usamos
\cos^{2}(x) = \tfrac{1 + \cos(2x)}{2}.
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\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[x + \tfrac{\sin(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2} - 0\Bigr) = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Na Regra do trapézio com um único intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}] temos h = \tfrac{\pi/2 - 0}{1} = \tfrac{\pi}{2} e
T = \frac{h}{2}\bigl[f(0) + f(\tfrac{\pi}{2})\bigr] = \frac{\pi/2}{2}\bigl[\cos^{2}(0) + \cos^{2}(\tfrac{\pi}{2})\bigr] = \frac{\pi}{4}(1 + 0) = \frac{\pi}{4}.

Passo 4

Na Primeira Regra de Simpson (1/3) usamos dois subintervalos iguais, n=2, h = \tfrac{\pi/2}{2} = \tfrac{\pi}{4}, e
S_{1/3} = \frac{h}{3}\bigl[f(0) + 4f(\tfrac{\pi}{4}) + f(\tfrac{\pi}{2})\bigr] = \frac{\pi/4}{3}\bigl[1 + 4\cdot\tfrac12 + 0\bigr] = \frac{\pi}{12}\cdot 3 = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Na Segunda Regra de Simpson (3/8) usamos três subintervalos, n=3, h = \tfrac{\pi/2}{3} = \tfrac{\pi}{6}, e
S_{3/8} = \frac{3h}{8}\bigl[f(0) + 3f(\tfrac{\pi}{6}) + 3f(\tfrac{\pi}{3}) + f(\tfrac{\pi}{2})\bigr] = \frac{3\pi/6}{8}\bigl[1 + 3\cdot\tfrac34 + 3\cdot\tfrac14 + 0\bigr] = \frac{\pi}{16}\cdot 4 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

a) Valor exato: \displaystyle \frac{\pi}{4}.
b) Regra do trapézio: \displaystyle \frac{\pi}{4}\approx0,785398.
c) Primeira Regra de Simpson: \displaystyle \frac{\pi}{4}\approx0,785398.
d) Segunda Regra de Simpson: \displaystyle \frac{\pi}{4}\approx0,785398.

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