Para o exercício abaixo:
\int_{2}^{5} \frac{1}{x \ln (x)} d x
Calcule:
a) Valor exato da integral;
b) Valor aproximado da integral pela Regra do trapézio;
c) Valor aproximado da integral pela Primeira Regra de Simpson;
d) Valor aproximado da integral pela Segunda Regra de Simpson;

Passo 1

O enunciado pede a integral definida
\int_{2}^{5}\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx
e também aproximações numéricas por três métodos:
– Regra do trapézio composta;
– Primeira Regra de Simpson (1/3 composta);
– Segunda Regra de Simpson (3/8 composta).
Para isso, precisamos
  1. encontrar a antiderivada de \frac{1}{x\ln(x)};
  2. aplicar as fórmulas de cada método numérico com um mesmo particionamento do intervalo [2,5].

Passo 2

A antiderivada de \frac{1}{x\ln(x)} é
\int \frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \ln\bigl(\ln(x)\bigr) + C,
pois \frac{d}{dx}\bigl[\ln(\ln(x))\bigr] = \frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x}.
Logo, o valor exato da integral é
\int_{2}^{5}\frac{1}{x\,\ln(x)}\,dx = \Bigl[\ln\bigl(\ln(x)\bigr)\Bigr]_{2}^{5} = \ln\bigl(\ln(5)\bigr)\;-\;\ln\bigl(\ln(2)\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{\ln(5)}{\ln(2)}\Bigr).

Passo 3

Para a Regra do trapézio composta com n=2 subintervalos, temos
h = \frac{5-2}{2} = \frac{3}{2}.
Os pontos são x_0=2, x_1=2+\tfrac{3}{2}=3{,}5, x_2=5.
Calculamos
f(x)=\frac{1}{x\,\ln(x)}, \quad f(2)=\frac{1}{2\ln(2)}\approx0{,}721347, \quad f(3{,}5)=\frac{1}{3{,}5\,\ln(3{,}5)}\approx0{,}228145, \quad f(5)=\frac{1}{5\ln(5)}\approx0{,}124250.
A fórmula composta do trapézio é
T = \frac{h}{2}\bigl[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\bigr] = \frac{\tfrac{3}{2}}{2}\bigl[0{,}721347 + 2\cdot0{,}228145 + 0{,}124250\bigr] \approx0{,}976415.

Passo 4

Para a Primeira Regra de Simpson (1/3) com n=2, usamos o mesmo h=\tfrac{3}{2} e os mesmos pontos. A fórmula é
S_{1/3} = \frac{h}{3}\bigl[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\bigr] = \frac{\tfrac{3}{2}}{3}\bigl[0{,}721347 + 4\cdot0{,}228145 + 0{,}124250\bigr] \approx0{,}879089.

Passo 5

Para a Segunda Regra de Simpson (3/8) com n=3 subintervalos,
h = \frac{5-2}{3}=1,
os pontos são x_0=2, x_1=3, x_2=4, x_3=5.
Calculamos
f(3)=\frac{1}{3\ln(3)}\approx0{,}303419, \quad f(4)=\frac{1}{4\ln(4)}\approx0{,}180317,
e já tínhamos f(2) e f(5). A fórmula 3/8 é
S_{3/8} = \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr] = \frac{3\cdot1}{8}\bigl[0{,}721347 + 3\cdot0{,}303419 + 3\cdot0{,}180317 + 0{,}124250\bigr] \approx0{,}861302.

Resposta

a) \displaystyle \ln\!\Bigl(\frac{\ln(5)}{\ln(2)}\Bigr)
b) Regra do trapézio: 0{,}976415
c) Primeira Regra de Simpson (1/3): 0{,}879089
d) Segunda Regra de Simpson (3/8): 0{,}861302

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