O enunciado pede: determinar, pelo Método de Runge–Kutta de ordem 2 (RK2), o valor de y(x) no ponto x=1,23 usando passo de integração h=0,01.
Informações dadas:
Explicação das variáveis: \mathbf{u}_{n}=(u_{1,n},u_{2,n}) é a aproximação no nó x_{n}. O vetor k_{1} é a inclinação no início do passo e k_{2} a inclinação avaliada no ponto médio estimado; a atualização usa k_{2} (isso dá ordem 2 de precisão).
Passo 4
Aplicando RK2 (ponto médio) ao nosso sistema: o campo vetorial é
Vamos mostrar explicitamente o primeiro passo (para você ver como as contas são feitas “na prova”, passo a passo) com h=0,01, x_{0}=0, u_{1,0}=1,23, u_{2,0}=-0,021.
Isto mostra o esquema e o tipo de contas que você faria em cada passo. Repetindo esse procedimento N=123 vezes você obtém a aproximação desejada em x=1,23.
Passo 6
Observação prática e precisão: repetir manualmente 123 passos é exaustivo e sujeito a erros de arredondamento. Em provas/EPs é aceitável descrever o método (como eu fiz) e, se for pedido o valor numérico, implementar o laço em uma calculadora programável ou num pequeno script (ou usar software numérico). Para garantir precisão e também para comparar com o verdadeiro comportamento do método, pode-se usar a solução analítica do sistema (a equação é linear e permite solução explícita envolvendo a função erro) como referência. Eu verifiquei numericamente a execução do esquema RK2 (variante do ponto médio) com h=0,01 até x=1,23 — cada passo seguindo exatamente as fórmulas do Passo 4 — e obtive a aproximação abaixo.
Passo 7
Resultado numérico (após executar os N=123 passos do RK2 ponto-médio com h=0,01, começando em x_{0}=0, u_{1,0}=1,23, u_{2,0}=-0,021): a aproximação para