Considerando-se o Spline Linear Identifique os valores da função G(x) nos pontos x=1.23, x=4.32, x=7.81 e x=8.12 usando 3 dígitos de precisão numérica, com base nos dados experimentais abaixo.
\begin{tabular}{c|c|c|c}
\hline \hline x & G(x) & x & G(x) \
\hline \hline 0.221 & 0.521 & 4.158 & 0.193 \
1.349 & 0.300 & 6.413 & 0.171 \
2.116 & 0.193 & 9.321 & 0.156 \
\hline

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de G(x) nos pontos x=1{,}23, x=4{,}32, x=7{,}81 e x=8{,}12 usando spline linear e pede três dígitos de precisão numérica. Os dados experimentais fornecidos (retirados da tabela do enunciado) são os pares (x,G(x)) abaixo:
(0{,}221,\;0{,}521),\quad (1{,}349,\;0{,}300),\quad (2{,}116,\;0{,}193),
(4{,}158,\;0{,}193),\quad (6{,}413,\;0{,}171),\quad (9{,}321,\;0{,}156).

Passo 2

O que é um spline linear (explicação didática e fórmula que vamos usar). Um spline linear é a interpolação por trechos de reta entre pontos consecutivos: entre cada par de dados (x_0,y_0) e (x_1,y_1) a função é dada pela reta que liga esses pontos. A fórmula de interpolação linear é
y(x)=y_0+\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\,(x-x_0),
onde
  • x é o ponto em que queremos a estimação,
  • x_0 e x_1 são os nós (pontos dados) que delimitam o intervalo que contém x,
  • y_0=G(x_0) e y_1=G(x_1),
  • o coeficiente \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} é a inclinação da reta entre os nós.
Método prático: para cada x que queremos, primeiro identificamos o intervalo [x_0,x_1] que contém x, depois aplicamos a fórmula acima. Agora vamos fazer isso passo a passo para cada ponto solicitado, mostrando as contas detalhadas e arredondando o resultado final para três dígitos após a vírgula.

Passo 3

Cálculo para x=1{,}23.
Identificamos o intervalo que contém 1{,}23. Pela lista de pontos, \,0{,}221 < 1{,}23 < 1{,}349, logo usamos (x_0,y_0)=(0{,}221,0{,}521) e (x_1,y_1)=(1{,}349,0{,}300).
Calculamos a inclinação:
m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{0{,}300-0{,}521}{1{,}349-0{,}221}=\frac{-0{,}221}{1{,}128}\approx -0{,}195752.
Agora aplicamos a fórmula com x=1{,}23 (diferença x-x_0=1{,}23-0{,}221=1{,}009):
G(1{,}23)=0{,}521 + (-0{,}195752)\cdot 1{,}009 \approx 0{,}521-0{,}197514=0{,}323486.
Arredondando para três dígitos após a vírgula:
G(1{,}23)\approx 0{,}323.

Passo 4

Cálculo para x=4{,}32.
Identificamos o intervalo: 4{,}158 < 4{,}32 < 6{,}413, portanto (x_0,y_0)=(4{,}158,0{,}193) e (x_1,y_1)=(6{,}413,0{,}171).
Inclinação:
m=\frac{0{,}171-0{,}193}{6{,}413-4{,}158}=\frac{-0{,}022}{2{,}255}\approx -0{,}00975499.
Diferença x-x_0=4{,}32-4{,}158=0{,}162. Então
G(4{,}32)=0{,}193 + (-0{,}00975499)\cdot 0{,}162 \approx 0{,}193-0{,}0015803=0{,}1914197.
Arredondando para três dígitos após a vírgula:
G(4{,}32)\approx 0{,}191.

Passo 5

Cálculo para x=7{,}81.
Intervalo: 6{,}413 < 7{,}81 < 9{,}321. Usamos (x_0,y_0)=(6{,}413,0{,}171) e (x_1,y_1)=(9{,}321,0{,}156).
Inclinação:
m=\frac{0{,}156-0{,}171}{9{,}321-6{,}413}=\frac{-0{,}015}{2{,}908}\approx -0{,}00515807.
Diferença x-x_0=7{,}81-6{,}413=1{,}397. Então
G(7{,}81)=0{,}171 + (-0{,}00515807)\cdot 1{,}397 \approx 0{,}171-0{,}0072058=0{,}1637942.
Arredondando para três dígitos após a vírgula:
G(7{,}81)\approx 0{,}164.

Passo 6

Cálculo para x=8{,}12.
Mesmo intervalo que no passo anterior: 6{,}413 < 8{,}12 < 9{,}321. Mantemos m\approx -0{,}00515807 e agora x-x_0=8{,}12-6{,}413=1{,}707.
Então
G(8{,}12)=0{,}171 + (-0{,}00515807)\cdot 1{,}707 \approx 0{,}171-0{,}0088029=0{,}1621971.
Arredondando para três dígitos após a vírgula:
G(8{,}12)\approx 0{,}162.

Resposta

G(1{,}23)=0{,}323
G(4{,}32)=0{,}191
G(7{,}81)=0{,}164
G(8{,}12)=0{,}162

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