\bigcirc 10 (Pressão Atmosférica) A pressão atmosférica à altura h (em relação ao nível do mar) é o peso de uma coluna vertical de ar cuja base é horizontal, tem altura h e possui área igual a 1. À medida que aumenta a altura h, a pressão atmosférica diminui, não somente porque a coluna de ar diminui como também porque o ar se torna mais rarefeito, logo pesa menos. Prova-se em consequência da Lei de Boyle, que se \mathrm{p}_{0} é a pressão atmosférica ao nível do mar então a pressão a uma altitude h é p(h)=p_{0} e^{-\alpha h}, onde \alpha é uma constante. A pressão atmosférica p=p(h) pode ser medida diretamente por um instrumento chamado barômetro.
(a) Mostre que, medindo-se a pressão atmosférica em dois pontos cujas altitudes h_{1} e h_{2} são conhecidas, pode-se determinar a constante \alpha.
(b) Mostre também que, conhecendo-se a constante \alpha e possuindo um barômetro, pode-se a cada momento determinar a que altura h voa um avião por meio da fórmula
\mathrm{h}=\frac{1}{\alpha} \ln \left(\frac{\mathrm{p}_{0}}{\mathrm{p}}\right),
onde p_{0} é a (conhecida) pressão ao nível do mar e p=p(h) é a pressão medida pelo barômetro no momento dado.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo da pressão atmosférica em função da altitude h:
p(h)=p_{0}e^{-\alpha h},
onde p_{0} é a pressão ao nível do mar e \alpha é uma constante. Na parte (a) queremos determinar \alpha a partir de duas medições de pressão em duas altitudes conhecidas h_{1} e h_{2}. Na parte (b) queremos inverter a relação para obter a altitude h em função de uma medida de pressão p.

Passo 2

Suponha que em h_{1} a pressão medida seja p_{1}=p(h_{1}) e em h_{2} seja p_{2}=p(h_{2}). Então
p_{1}=p_{0}e^{-\alpha h_{1}}, \qquad p_{2}=p_{0}e^{-\alpha h_{2}}.
Dividindo essas duas expressões, obtemos
\frac{p_{1}}{p_{2}} =\frac{p_{0}e^{-\alpha h_{1}}}{p_{0}e^{-\alpha h_{2}}} =e^{-\alpha h_{1}+\alpha h_{2}} =e^{\alpha(h_{2}-h_{1})}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados,
\ln\!\biggl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\biggr) =\alpha\,(h_{2}-h_{1}).
Logo, isolando \alpha,
\alpha =\frac{1}{h_{2}-h_{1}} \ln\!\biggl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\biggr).

Passo 3

Para achar a altitude h em função de uma medida de pressão p, partimos de
p=p_{0}e^{-\alpha h}.
Dividindo por p_{0} e aplicando logaritmo natural:
\frac{p}{p_{0}}=e^{-\alpha h} \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\biggl(\frac{p}{p_{0}}\biggr)=-\alpha h.
Isolando h, obtemos
h =\frac{1}{\alpha} \ln\!\biggl(\frac{p_{0}}{p}\biggr).

Resposta

(a) \displaystyle \alpha=\frac{1}{h_{2}-h_{1}}\ln\!\bigl(\tfrac{p_{1}}{p_{2}}\bigr).
(b) \displaystyle h=\frac{1}{\alpha}\ln\!\bigl(\tfrac{p_{0}}{p}\bigr).

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