(Pressão Atmosférica) A pressão atmosférica à altura h (em relação ao nível do mar) é o peso de uma coluna vertical de ar cuja base é horizontal, tem altura h e possui área igual a 1. À medida que aumenta a altura h, a pressão atmosférica diminui, não somente porque a coluna de ar diminui como também porque o ar se torna mais rarefeito, logo pesa menos. Prova-se em consequência da Lei de Boyle, que se
é a pressão atmosférica ao nível do mar então a pressão a uma altitude h é
, onde
é uma constante. A pressão atmosférica
pode ser medida diretamente por um instrumento chamado barômetro.
(a) Mostre que, medindo-se a pressão atmosférica em dois pontos cujas altitudes
e
são conhecidas, pode-se determinar a constante
.
(b) Mostre também que, conhecendo-se a constante
e possuindo um barômetro, pode-se a cada momento determinar a que altura h voa um avião por meio da fórmula
onde
é a (conhecida) pressão ao nível do mar e
é a pressão medida pelo barômetro no momento dado.
(a) Mostre que, medindo-se a pressão atmosférica em dois pontos cujas altitudes
(b) Mostre também que, conhecendo-se a constante
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo da pressão atmosférica em função da altitude
:
onde
é a pressão ao nível do mar e
é uma constante. Na parte (a) queremos determinar
a partir de duas medições de pressão em duas altitudes conhecidas
e
. Na parte (b) queremos inverter a relação para obter a altitude
em função de uma medida de pressão
.
Passo 2
Suponha que em
a pressão medida seja
e em
seja
. Então
Dividindo essas duas expressões, obtemos
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados,
Logo, isolando
,
Passo 3
Para achar a altitude
em função de uma medida de pressão
, partimos de
Dividindo por
e aplicando logaritmo natural:
Isolando
, obtemos
Resposta
(a)
(b)