08 Prove que para
não é o quadrado de um inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para todo
, a expressão
não pode ser igual ao quadrado de um inteiro. Vamos usar uma técnica clássica de comparar essa expressão com quadrados consecutivos de inteiros.
Passo 2
Reescrevemos a expressão agrupando termos de modo a verificação de soma de quadrados:
Passo 3
Como
para todo
, segue imediatamente que
Portanto,
Passo 4
Agora comparamos com o quadrado do inteiro seguinte
. Calculamos a diferença:
Mas
Logo
Passo 5
Concluímos que
Assim, a expressão fica estritamente entre dois quadrados consecutivos de inteiros, o que impede que ela própria seja um quadrado perfeito.
Resposta
Para todo
, a quantidade
não é o quadrado de nenhum inteiro.