08 Prove que para n=1,2,3, \ldots
n^{4}+2 n^{3}+2 n^{2}+2 n+1
não é o quadrado de um inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para todo n=1,2,3,\dots, a expressão
n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1
não pode ser igual ao quadrado de um inteiro. Vamos usar uma técnica clássica de comparar essa expressão com quadrados consecutivos de inteiros.

Passo 2

Reescrevemos a expressão agrupando termos de modo a verificação de soma de quadrados:
n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1 = (n^{2}+n)^{2} + (n+1)^{2}.

Passo 3

Como (n+1)^{2}>0 para todo n\ge1, segue imediatamente que
(n^{2}+n)^{2} < (n^{2}+n)^{2} + (n+1)^{2}.
Portanto,
(n^{2}+n)^{2} < n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1.

Passo 4

Agora comparamos com o quadrado do inteiro seguinte n^{2}+n+1. Calculamos a diferença:
(n^{2}+n+1)^{2} - \bigl[(n^{2}+n)^{2} + (n+1)^{2}\bigr] = 2(n^{2}+n) + 1 - (n+1)^{2}.
Mas
2(n^{2}+n)+1 - (n+1)^{2} =2n^{2}+2n+1 - (n^{2}+2n+1) =n^{2}>0.
Logo
(n^{2}+n)^{2} + (n+1)^{2} < (n^{2}+n+1)^{2}.

Passo 5

Concluímos que
(n^{2}+n)^{2} < n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1 < (n^{2}+n+1)^{2}.
Assim, a expressão fica estritamente entre dois quadrados consecutivos de inteiros, o que impede que ela própria seja um quadrado perfeito.

Resposta

Para todo n=1,2,3,\dots, a quantidade
n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1
não é o quadrado de nenhum inteiro.

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