-9 Sejam a e b números reais não ambos nulos. Prove que existem constantes k et tais que
a \operatorname{sen} x+b \cos x=k \operatorname{sen}(t+x)

Passo 1

O enunciado diz que, dados a,b\in\mathbb{R} não ambos nulos, devemos escrever
a\,\operatorname{sen} x + b\,\cos x
na forma
k\,\operatorname{sen}(x+t),
usando a fórmula de adição de ângulos para o seno. Precisamos encontrar k>0 e t tais que a identidade seja verdadeira para todo x.

Passo 2

Recordando a fórmula de adição de ângulos,
\operatorname{sen}(x+t)=\operatorname{sen} x\cos t + \cos x\operatorname{sen} t.
Se multiplicarmos ambos os lados por k, obtemos
k\,\operatorname{sen}(x+t) = k\bigl(\operatorname{sen} x\cos t + \cos x\operatorname{sen} t\bigr) = (k\cos t)\,\operatorname{sen} x + (k\operatorname{sen} t)\,\cos x.
Para que isso seja igual a a\,\operatorname{sen} x + b\,\cos x, basta igualar coeficientes:
\begin{cases} k\cos t = a,\\\ k\operatorname{sen} t = b. \end{cases}

Passo 3

Daquelas duas equações, ao elevar ao quadrado e somar, vem
(k\cos t)^2 + (k\operatorname{sen} t)^2 = a^2 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad k^2(\cos^2 t + \operatorname{sen}^2 t)=a^2+b^2 \quad\Longrightarrow\quad k = \sqrt{a^2+b^2}\,,
pois k>0. Em seguida, podemos definir o ângulo t de modo que
\cos t = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \operatorname{sen} t = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},
o que é possível pois \cos^2t+\operatorname{sen}^2t=1. Dessa forma, as igualdades do

Resposta

Tomando
k = \sqrt{a^2+b^2}, \qquad \cos t = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \qquad \operatorname{sen} t = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},
temos
a\,\operatorname{sen} x + b\,\cos x = k\,\operatorname{sen}(x+t).

Exercícios relacionados