-9 Sejam a e b números reais não ambos nulos. Prove que existem constantes k et tais que
Passo 1
O enunciado diz que, dados
não ambos nulos, devemos escrever
na forma
usando a fórmula de adição de ângulos para o seno. Precisamos encontrar
e
tais que a identidade seja verdadeira para todo
.
Passo 2
Recordando a fórmula de adição de ângulos,
Se multiplicarmos ambos os lados por
, obtemos
Para que isso seja igual a
, basta igualar coeficientes:
Passo 3
Daquelas duas equações, ao elevar ao quadrado e somar, vem
pois
. Em seguida, podemos definir o ângulo
de modo que
o que é possível pois
. Dessa forma, as igualdades do
Resposta
Tomando
temos