\bigcirc 13 Sejam a, b, c e d números reais positivos. Prove que
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d} \geqslant \frac{64}{a+b+c+d}

Passo 1

O enunciado pede para provar, para a,b,c,d>0, que
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\;\ge\;\frac{64}{a+b+c+d}.
Para isso vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz na forma de Engel (ou de Titu), que afirma que, para x_i\in\mathbb{R} e y_i>0,
\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i^2}{y_i}\;\ge\;\frac{\bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i\bigr)^2}{\sum_{i=1}^{n}y_i}.

Passo 2

Escolhemos x_1=1, x_2=1, x_3=2, x_4=4 e y_1=a, y_2=b, y_3=c, y_4=d. Então
\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d} \;\ge\; \frac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d} = \frac{8^2}{a+b+c+d} = \frac{64}{a+b+c+d},
que é exatamente a desigualdade requerida.

Resposta

A desigualdade está provada.

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