Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) que modela uma estrutura sob vento cíclico:
, com
.
Passo 1
O enunciado dá o Problema de Valor Inicial
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes que temos:
- Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo é
. - Condições iniciais em
: e .
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para isso usamos a equação característica. Assumimos
, o que leva a
As raízes são
. Quando as raízes são puramente imaginárias
, a solução geral homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência
. Aqui
. Portanto
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. O termo forçante é
. A técnica de coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação linear de
e
. Porém essas funções aparecem já na solução homogênea: é o caso de ressonância (a frequência do forçamento,
, coincide com a frequência natural da homogênea). Quando há ressonância, multiplica-se a tentativa por
. Assim escolhemos o ansatz
onde
e
são constantes a determinar. Explico: o fator
garante que
não esteja na forma da solução homogênea e permite equilibrar a equação.
Passo 4
Vamos calcular
aplicando a regra do produto. Seja
e
. Então
Calculamos
:
Logo
Passo 5
Agora diferenciamos
para obter
. Novamente usamos produto e derivadas já calculadas:
A derivada da primeira parcela é
.
A derivada da segunda parcela é
A derivada da primeira parcela
A derivada da segunda parcela
Somando as duas contribuições:
Passo 6
Substituímos
Observe que os termos que multiplicam
se cancelam:
Fica então
Essa expressão deve ser igual ao forçamento
. Igualando os coeficientes das funções independentes
e
obtemos o sistema
Daí
.]
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
Passo 8
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Avaliando:
Logo
.
Em seguida precisamos de
. Diferenciando a expressão geral (já usamos derivadas similares antes):
(Explicação rápida: a derivada de
é
.)
Avalie em
:
A condição
impõe
, então
.
Passo 9
Com
e
obtemos a solução única do PVI:
Parabéns — essa é a resposta final. Ela mostra a resposta natural (seno e cosseno) mais a resposta particular ressonante proporcional a
.