Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) que modela uma estrutura sob vento cíclico: y^{\prime \prime}+4 y= 8 \sin (2 t), com y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá o Problema de Valor Inicial
y'' + 4y = 8\sin(2t), \qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais. As informações relevantes que temos:
  • Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo é 8\sin(2t).
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y_h''+4y_h=0.
Para isso usamos a equação característica. Assumimos y_h=e^{rt}, o que leva a
r^2+4=0.
As raízes são r=\pm 2i. Quando as raízes são puramente imaginárias \pm\omega i, a solução geral homogênea é combinação de cosseno e seno com frequência \omega. Aqui \omega=2. Portanto
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa. O termo forçante é 8\sin(2t). A técnica de coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação linear de \cos(2t) e \sin(2t). Porém essas funções aparecem já na solução homogênea: é o caso de ressonância (a frequência do forçamento, 2, coincide com a frequência natural da homogênea). Quando há ressonância, multiplica-se a tentativa por t. Assim escolhemos o ansatz
y_p(t)=t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar. Explico: o fator t garante que y_p não esteja na forma da solução homogênea e permite equilibrar a equação.

Passo 4

Vamos calcular y_p' aplicando a regra do produto. Seja u(t)=t e v(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t). Então
y_p'=u'v+uv' = v + t v'.
Calculamos v':
v'(t) = -2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Logo
y_p'(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t) + t\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr).

Passo 5

Agora diferenciamos y_p' para obter y_p''. Novamente usamos produto e derivadas já calculadas:
A derivada da primeira parcela A\cos(2t)+B\sin(2t) é -2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
A derivada da segunda parcela t(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)) é
(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)) + t(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)).
Somando as duas contribuições:
y_p''(t) = -4A\sin(2t)+4B\cos(2t) + t\bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr).

Passo 6

Substituímos y_p\) e \(y_p''\) na equação diferencial: \[y_p''+4y_p = \bigl(-4A\sin(2t)+4B\cos(2t)\bigr) + t\bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr) +4t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Observe que os termos que multiplicam t se cancelam:
t\bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr)+4t\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr)=0.
Fica então
y_p''+4y_p = -4A\sin(2t)+4B\cos(2t).
Essa expressão deve ser igual ao forçamento 8\sin(2t). Igualando os coeficientes das funções independentes \sin(2t) e \cos(2t) obtemos o sistema
\begin{cases} -4A = 8,\\[4pt] 4B = 0. \end{cases}
Daí A=-2\] e \(B=0.]

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_p(t) = -2t\cos(2t).
A solução geral da equação completa é soma da homogênea com a particular:
y(t) = C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t) -2t\cos(2t).

Passo 8

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=1. Avaliando:
y(0)=C_1\cos(0)+C_2\sin(0)-2\cdot 0\cdot\cos(0)=C_1.
Logo C_1=1.
Em seguida precisamos de y'(t). Diferenciando a expressão geral (já usamos derivadas similares antes):
y'(t) = -2C_1\sin(2t)+2C_2\cos(2t) -2\cos(2t) +4t\sin(2t).
(Explicação rápida: a derivada de -2t\cos(2t) é -2\cos(2t)+4t\sin(2t).)
Avalie em t=0:
y'(0) = -2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 -2\cdot 1 + 0 = 2C_2 -2.
A condição y'(0)=0 impõe 2C_2-2=0, então C_2=1.

Passo 9

Com C_1=1 e C_2=1 obtemos a solução única do PVI:
y(t) = \cos(2t)+\sin(2t)-2t\cos(2t).
Parabéns — essa é a resposta final. Ela mostra a resposta natural (seno e cosseno) mais a resposta particular ressonante proporcional a t.

Resposta

y(t)=\cos(2t)+\sin(2t)-2t\cos(2t).

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