Determine a amplitude máxima de estado estacionário M para um sistema onde a solução particular encontrada foi y_{p}(t)=-3 \cos (2 t)+4 \sin (2 t). Dica: Use pitágoras M=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a amplitude máxima de estado estacionário M para a solução particular fornecida. As informações que temos:
  • A solução particular é y_{p}(t)=-3\cos(2t)+4\sin(2t).
  • Queremos o valor numérico de M, que é a amplitude do sinal resultante (ou seja, o valor máximo absoluto de y_{p}(t) ao longo do tempo).

Passo 2

Entendendo o que é amplitude no caso de soma de cosseno e seno da mesma frequência.
Quando temos uma combinação do tipo
y_{p}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
essa expressão pode ser reescrita como uma única função harmônica com fase:
y_{p}(t)=M\cos(\omega t-\varphi),
onde M é a amplitude (o valor máximo de |y_{p}(t)|) e \varphi é a fase. Para ver por que isso funciona, use a identidade do cosseno da diferença:
\cos(\omega t-\varphi)=\cos(\omega t)\cos\varphi+\sin(\omega t)\sin\varphi.
Multiplicando por M obtemos
M\cos(\omega t-\varphi)=M\cos\varphi\cos(\omega t)+M\sin\varphi\sin(\omega t).
Comparando com A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t), identificamos:
A=M\cos\varphi,\qquad B=M\sin\varphi.

Passo 3

Derivando a fórmula de M a partir das igualdades acima.
Se A=M\cos\varphi e B=M\sin\varphi, então elevando ao quadrado e somando:
A^{2}+B^{2}=M^{2}\cos^{2}\varphi+M^{2}\sin^{2}\varphi=M^{2}(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)=M^{2}.
Portanto
M=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Isto é exatamente a dica do enunciado (teorema de Pitágoras aplicado aos componentes).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao caso dado.
Da solução particular y_{p}(t)=-3\cos(2t)+4\sin(2t) extraímos os coeficientes:
A=-3,\qquad B=4.
Logo
M=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para prova.
O valor M=5 significa que a soma de -3\cos(2t) com 4\sin(2t) oscila entre -5 e 5. Na prova, sempre que tiveres uma combinação do mesmo ângulo em seno e cosseno, usa direto M=\sqrt{A^{2}+B^{2}}; se precisarem também da fase \varphi, calcula \varphi=\operatorname{atan2}(B,A) (com cuidado com o quadrante).

Resposta

M=5

Exercícios relacionados