Determine a amplitude máxima de estado estacionário
para um sistema onde a solução particular encontrada foi
. Dica: Use pitágoras
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a amplitude máxima de estado estacionário
para a solução particular fornecida. As informações que temos:
- A solução particular é
. - Queremos o valor numérico de
, que é a amplitude do sinal resultante (ou seja, o valor máximo absoluto de ao longo do tempo).
Passo 2
Entendendo o que é amplitude no caso de soma de cosseno e seno da mesma frequência.
Quando temos uma combinação do tipo
essa expressão pode ser reescrita como uma única função harmônica com fase:
onde
é a amplitude (o valor máximo de
) e
é a fase. Para ver por que isso funciona, use a identidade do cosseno da diferença:
Multiplicando por
obtemos
Comparando com
, identificamos:
Passo 3
Derivando a fórmula de
a partir das igualdades acima.
Se
e
, então elevando ao quadrado e somando:
Portanto
Isto é exatamente a dica do enunciado (teorema de Pitágoras aplicado aos componentes).
Passo 4
Aplicando a fórmula ao caso dado.
Da solução particular
extraímos os coeficientes:
Logo
Passo 5
Interpretação rápida e dica para prova.
O valor
significa que a soma de
com
oscila entre
e
. Na prova, sempre que tiveres uma combinação do mesmo ângulo em seno e cosseno, usa direto
; se precisarem também da fase
, calcula
(com cuidado com o quadrante).