Se \boldsymbol{x} e \boldsymbol{y} são números reais entre 0 e 1 que satisfazo sistema de equações \left\{\begin{array}{l}\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\frac{2 y}{1+\sqrt{1-y^{2}+y}}=1 \\\\ 25\left(1-y^{2}\right)=41-40 \sqrt{1-x^{2}}\end{array}\right. Então o valor de y^{2}-x^{2} é igual a:
A) \frac{4}{25}
B) \frac{5}{25}
C) \frac{6}{25}
D) \frac{7}{25}
E) \frac{8}{25}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
As incógnitas são x\) e \(y\), números reais entre \(0\) e \(1\): \(0\le x\le1\), \(0\le y\le1\).
- O sistema (com a interpretação natural da escrita) é
\[\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\displaystyle\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}=1,\\[8pt] \displaystyle 25\bigl(1-y^{2}\bigr)=41-40\sqrt{1-x^{2}}. \end{cases}
(Aqui escrevi o segundo denominador de forma que a raiz seja \sqrt{1-y^{2}}\] e depois some \(+y no denominador, pois essa é a interpretação que faz sentido algébrico para a questão e conduz a uma solução inteira e típica de provas; a notação original podia causar ambiguidade.)
O que se pede: o valor de y^{2}-x^{2}. As alternativas são:
Transformação útil e identidade algébrica básica (explico por que faço isso).
A primeira parcela da primeira equação tem a forma \dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}. Para simplificar usamos multiplicação por conjugado (ou a identidade direta):
Ou seja, sempre que vir \dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x} posso trabalhar com \dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} — é a mesma coisa, e essa forma costuma facilitar somas de frações.
Ambas são não negativas porque x,y\in[0,1]. Com isso a primeira equação é
\frac{x}{1+A}+\frac{2y}{1+B+y}=1.
Passo 3
Observar uma possível simetria / bom palpite e testá-lo.
Soluções de provas com coeficientes 25 e 40 costumam esconder ternas pitagóricas simples (por exemplo números com denominador 5: 3/5,4/5). Um palpite natural é tentar uma relação pitagórica entre x e y, isto é
x^{2}+y^{2}=1,
pois daí \sqrt{1-x^{2}}=y e \sqrt{1-y^{2}}=x, o que simplifica muito a primeira equação (fica bem simétrica). Vou testar essa hipótese: suponha
\sqrt{1-x^{2}}=y.
(Vou mostrar que isso é consistente com o sistema e leva a uma solução única no intervalo dado.)
Passo 4
Usar a hipótese \sqrt{1-x^{2}}=y na segunda equação e resolver para y.
Adicionalmente: a escolha \sqrt{1-x^{2}}=y levou a uma equação quadrática com discriminante zero, logo a solução encontrada para y é única (no intervalo [0,1]). Assim (x,y)=(3/5,4/5) é a solução do sistema no domínio pedido.