1. Se \boldsymbol{x} e \boldsymbol{y} são números reais entre 0 e 1 que satisfazo sistema de equações \left\{\begin{array}{l}\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\frac{2 y}{1+\sqrt{1-y^{2}+y}}=1 \\\\ 25\left(1-y^{2}\right)=41-40 \sqrt{1-x^{2}}\end{array}\right. Então o valor de y^{2}-x^{2} é igual a:
    A) \frac{4}{25}
    B) \frac{5}{25}
    C) \frac{6}{25}
    D) \frac{7}{25}
    E) \frac{8}{25}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • As incógnitas são x\) e \(y\), números reais entre \(0\) e \(1\): \(0\le x\le1\), \(0\le y\le1\). - O sistema (com a interpretação natural da escrita) é \[\begin{cases} \displaystyle \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}+\displaystyle\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}=1,\\[8pt] \displaystyle 25\bigl(1-y^{2}\bigr)=41-40\sqrt{1-x^{2}}. \end{cases}
(Aqui escrevi o segundo denominador de forma que a raiz seja \sqrt{1-y^{2}}\] e depois some \(+y no denominador, pois essa é a interpretação que faz sentido algébrico para a questão e conduz a uma solução inteira e típica de provas; a notação original podia causar ambiguidade.)
  • O que se pede: o valor de y^{2}-x^{2}. As alternativas são:
\text{(A) }\frac{4}{25},\\ \text{(B) }\frac{5}{25},\\ \text{\text{(C)} }\frac{6}{25},\\ \text{(D) }\frac{7}{25},\\ \text{(E) }\frac{8}{25}.]

Passo 2

Transformação útil e identidade algébrica básica (explico por que faço isso).
A primeira parcela da primeira equação tem a forma \dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}. Para simplificar usamos multiplicação por conjugado (ou a identidade direta):
\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x} = \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x}\cdot\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{1+\sqrt{1-x^{2}}} = \frac{1-(1-x^{2})}{x\bigl(1+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)} = \frac{x^{2}}{x\bigl(1+\sqrt{1-x^{2}}\bigr)} = \frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}.
Ou seja, sempre que vir \dfrac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x} posso trabalhar com \dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} — é a mesma coisa, e essa forma costuma facilitar somas de frações.
Aplicando isso, a primeira equação fica
\frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}=1.
Para clareza, vou anotar duas quantidades:
A:=\sqrt{1-x^{2}},\qquad B:=\sqrt{1-y^{2}}.
Ambas são não negativas porque x,y\in[0,1]. Com isso a primeira equação é
\frac{x}{1+A}+\frac{2y}{1+B+y}=1.

Passo 3

Observar uma possível simetria / bom palpite e testá-lo.
Soluções de provas com coeficientes 25 e 40 costumam esconder ternas pitagóricas simples (por exemplo números com denominador 5: 3/5,4/5). Um palpite natural é tentar uma relação pitagórica entre x e y, isto é
x^{2}+y^{2}=1,
pois daí \sqrt{1-x^{2}}=y e \sqrt{1-y^{2}}=x, o que simplifica muito a primeira equação (fica bem simétrica). Vou testar essa hipótese: suponha
\sqrt{1-x^{2}}=y.
(Vou mostrar que isso é consistente com o sistema e leva a uma solução única no intervalo dado.)

Passo 4

Usar a hipótese \sqrt{1-x^{2}}=y na segunda equação e resolver para y.
Se \sqrt{1-x^{2}}=y, a segunda equação
25(1-y^{2})=41-40\sqrt{1-x^{2}}
fica
25(1-y^{2})=41-40y.
Desenvolvendo:
25-25y^{2}=41-40y \quad\Longrightarrow\quad 25y^{2}-40y+16=0.
Esse é um polinômio quadrático. Calculo o discriminante:
\Delta = (-40)^{2}-4\cdot25\cdot16=1600-1600=0.
Como \Delta=0, a equação tem raiz dupla
y=\frac{40}{2\cdot25}=\frac{40}{50}=\frac{4}{5}.
Portanto, sob a hipótese \sqrt{1-x^{2}}=y obtemos y=\tfrac{4}{5}. A partir disso,
x^{2}=1-y^{2}=1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25},
logo
x=\frac{3}{5}
(positivo porque x\in[0,1]).

Passo 5

Verificar que (x,y)=\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr) satisfaz de fato a primeira equação (confirmação final).
Com x=\tfrac{3}{5} e y=\tfrac{4}{5} temos
\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\sqrt{\tfrac{16}{25}}=\tfrac{4}{5}=y, \qquad \sqrt{1-y^{2}}=\sqrt{1-\tfrac{16}{25}}=\tfrac{3}{5}=x.
Agora avalio a primeira equação na forma já simplificada:
\frac{x}{1+\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{2y}{1+\sqrt{1-y^{2}}+y}.
Substituindo os valores:
\frac{3/5}{1+4/5}+\frac{2\cdot(4/5)}{1+3/5+4/5} = \frac{3/5}{9/5}+\frac{8/5}{12/5} = \frac{3}{9}+\frac{8}{12} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1.
Portanto a primeira equação é satisfeita também.
Adicionalmente: a escolha \sqrt{1-x^{2}}=y levou a uma equação quadrática com discriminante zero, logo a solução encontrada para y é única (no intervalo [0,1]). Assim (x,y)=(3/5,4/5) é a solução do sistema no domínio pedido.

Passo 6

Calcular o que foi pedido: y^{2}-x^{2}.
Com y^{2}=\tfrac{16}{25} e x^{2}=\tfrac{9}{25},
y^{2}-x^{2}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{25}

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