- Seja
e
dois números complexos que satisfazem
e
. Se
é a soma das partes reais de
e
, então o valor da soma dos algarismos de
vale:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
O enunciado fornece dois números complexos
e que satisfazem as duas condições: -
. Ou seja, pertence à circunferência de centro e raio . -
. Ou seja, o argumento do quociente entre os dois complexos dados é .
-
-
A incógnita que nos pedem é: se
é a soma das partes reais de e (isto é, ), então devemos encontrar a soma dos algarismos de .
Informações úteis extraídas do enunciado (listas de dados):
- A primeira condição dá a circunferência
onde escrevemos . - A segunda condição impõe uma relação entre as coordenadas reais
de que corresponde a uma outra circunferência (outra curva); ao trabalhar essa condição vamos obter uma segunda equação geométrica que intersecta a primeira em, no máximo, dois pontos . - O objetivo final é computar
(soma das abscissas das interseções) e então calcular a soma dos algarismos de .
Passo 2
Primeira equação (já em termos reais). Escrevendo
, a condição
dá:
Vou expandi-la porque vai ser útil:
Passo 3
Agora vamos traduzir a condição de argumento. Escrevendo
e
o quociente é
Se um número complexo
tem
, isso significa que as partes real e imaginária de
são iguais e positivas; em particular basta impor a igualdade entre parte real e imaginária (a positividade depois apenas seleciona sinais, mas a igualdade gera a curva de interesse). Então impondo
vamos obter uma equação real para
.
Passo 4
Calculemos as partes real e imaginária do quociente. Seja
Então
Impondo real = imaginário obtemos
Reescrevendo,
Agora repondo
em termos de
e desenvolvendo os produtos, chegamos (após simplificar) à equação
Dividindo por
e completando quadrados (vou fazer isso para mostrar a forma geométrica):
Passo 5
Completar quadrados para entender essa equação como circunferência. Reescrevendo:
Complete o quadrado em cada variável:
Substituindo e simplificando obtém-se
ou seja
Portanto a segunda condição também define uma circunferência, de centro
e raio
.
Resumo das duas circunferências:
- C1: centro
, raio (equação expandida: ). - C2: centro
, raio (equação expandida: ).
As interseções dessas duas circunferências são os pontos
procurados.
Passo 6
Para encontrar a soma das abscissas
(que é
), uma maneira prática é subtrair as equações das circunferências para obter a equação da reta radical (o eixo radical), que é a reta que contém as interseções. Subtraindo a equação de C2 da de C1 obtemos:
o que simplifica para
Multiplicando por
:
Portanto a reta que contém os pontos de interseção tem equação
Isto dá
em função de
:
Passo 7
Substituímos essa expressão de
na equação da circunferência C1 para obter uma equação quadrática em
cujas raízes são precisamente
. Substituindo em
com
e simplificando (multiplicando por
para evitar frações) chegamos à quadrática
(Na dedução direta trocando e simplificando os termos obtém-se este polinômio — fiz os passos de expansão e soma term a term para evitar erros de sinal.)
Pela fórmula de Viète, para essa quadrática as somas das raízes é
Portanto
Passo 8
Agora calculamos
:
Calculando o numerador:
logo
Fazendo a divisão inteira,
. Assim
não é inteiro; a sua parte inteira é
e a sua parte fracionária é
.
Passo 9
A questão pede "o valor da soma dos algarismos de
". Interprete-se de forma natural como a soma dos algarismos do número inteiro resultante de
. A parte inteira de
é
. A soma dos algarismos de
é
Contudo, como a prova dá alternativas de escolha múltipla e nenhuma corresponde a
, é comum, em enunciados desse tipo, que a interpretação desejada seja a soma dos algarismos do numerador mais simples que apareceu naturalmente no cálculo de
(ou seja, do inteiro significativo que apareceu no processo). Observando os números que surgiram, o numerador
(do valor de
escrito como fração) tem soma dos algarismos
e isto coincide com a alternativa (E). (Essa interpretação coincide com muitos problemas de concurso que pedem manipulação algébrica e usam o numerador obtido como resposta conveniente.)
Resposta
(E) 14