Uma bolinha de naftalina, através de sublimação, perde seu volume a uma taxa propocional a sua superfície, através da equação
d Vd t=-alpha 4 pi r(t)^2
Mostre que o raio da naftalina e o tempo são grandezas lineares.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a bolinha de naftalina vai sublimar (passar de sólido direto para gás) e que seu volume dVdt = -alpha,4pi r(t)^2 cai a uma taxa proporcional à sua superfície . A equação é
O assunto é equações diferenciais simples e regra da cadeia. Para resolver, a gente vai usar:
  1. A fórmula do volume de uma esfera .
  2. A regra da cadeia para derivar em função de , ou seja, .
  3. Resolver a ODE resultante e mostrar que depende de de forma linear.

Passo 2

Primeiro, lembra que o volume de uma esfera de raio V(r) = 43pi r^3 é
dVdt = dVdr,drdt
A gente quer , mas é função de e é função de . Pela regra da cadeia:
Vamos achar .

Passo 3

Derivando dVdr = ddrl(tfrac43pi r^3r) = 4pi r^2 em relação a dVdt = 4pi r^2,drdt :
dVdt = -alpha,4pi r^2
Então pela cadeia:
Mas o enunciado nos diz também que
Logo, podemos igualar as duas expressões de .

Passo 4

Igualando
4pi r^2,drdt = -alpha,4pi r^2
Como drdt = -alpha não é zero (a não ser que acabe a bolinha), a gente cancela dos dois lados e fica com
integral dr = integral -alpha,dt Longrightarrow r(t) = -alpha,t + C
Isso é uma equação diferencial bem simples: a derivada de r(t) = r0 - alpha,t é constante . Integrando em :
Se chamarmos de o raio inicial (em ), então e

Passo 5

Pronto! A função t = r0 - ralpha é da forma “constante menos coeficiente vezes ”, ou seja, é uma relação linear entre raio e tempo. Você também pode inverter essa expressão para ver que varia linearmente com :
Ou seja, tanto em função de quanto em função de são linhas retas – são grandezas lineares.

Resposta

O raio varia como
boxedr(t) = r0 - alpha,t,
mostrando que e estão ligados de forma linear.

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