Uma bolinha de naftalina, através de sublimação, perde seu volume a uma taxa propocional a sua superfície, através da equação
Mostre que o raio da naftalina e o tempo são grandezas lineares.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a bolinha de naftalina vai sublimar (passar de sólido direto para gás) e que seu volume
cai a uma taxa proporcional à sua superfície
. A equação é
O assunto é equações diferenciais simples e regra da cadeia. Para resolver, a gente vai usar:
- A fórmula do volume de uma esfera
. - A regra da cadeia para derivar
em função de , ou seja, . - Resolver a ODE resultante e mostrar que
depende de de forma linear.
Passo 2
Primeiro, lembra que o volume de uma esfera de raio
é
A gente quer
, mas
é função de
e
é função de
. Pela regra da cadeia:
Vamos achar
.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
Então pela cadeia:
Mas o enunciado nos diz também que
Logo, podemos igualar as duas expressões de
.
Passo 4
Igualando
Como
não é zero (a não ser que acabe a bolinha), a gente cancela dos dois lados e fica com
Isso é uma equação diferencial bem simples: a derivada de
é constante
. Integrando em
:
Se chamarmos de
o raio inicial (em
), então
e
Passo 5
Pronto! A função
é da forma “constante menos coeficiente vezes
”, ou seja, é uma relação linear entre raio e tempo. Você também pode inverter essa expressão para ver que
varia linearmente com
:
Ou seja, tanto
em função de
quanto
em função de
são linhas retas – são grandezas lineares.
Resposta
O raio varia como
mostrando que
e
estão ligados de forma linear.