Calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamos , em que , usando um polinômio de interpolação do 2 grau.
Passo 1
Beleza, temos a função
e uma tabela de valores em pontos . A ideia é usar um polinômio interpolador de grau 2 (ou seja, pegar 3 pontos) para aproximar e, em seguida, achar um limitante superior para o erro de truncamento desse polinômio.
Conteúdo: Teorema do resto de Lagrange na interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
A forma do resto de Lagrange para grau 2;
O ponto onde a gente vai interpolar (0.25) e quais nós usar (os 3 mais próximos: 0.1, 0.2 e 0.3);
Uma cota para a terceira derivada de no intervalo onde estamos (de 0.1 a 0.3).
Passo 2
Escrever o resto de Lagrange para interpolação de grau 2:
onde são os nós (aqui 0.1, 0.2 e 0.3) e é algum ponto entre o menor e o maior desses nós. Para achar um limitante, a gente vai substituir por uma cota máxima de no intervalo .
Passo 3
Calcular as derivadas de :
-
-
- .
Como cresce com , no intervalo o maior valor de ocorre em .
Logo, podemos tomar