Dada a tabela
- x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
e^2 x 1 1.34 1.82 2.45 3.32 4.48
Calcular um limitante superior para o erro de truncamento quando avaliamos f(0.25), em que f(x)=e^2 x, usando um polinômio de interpolação do 2 grau.

Passo 1

Beleza, temos a função

e uma tabela de valores em pontos . A ideia é usar um polinômio interpolador de grau 2 (ou seja, pegar 3 pontos) para aproximar e, em seguida, achar um limitante superior para o erro de truncamento desse polinômio.
Conteúdo: Teorema do resto de Lagrange na interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
  • A forma do resto de Lagrange para grau 2;
  • O ponto onde a gente vai interpolar (0.25) e quais nós usar (os 3 mais próximos: 0.1, 0.2 e 0.3);
  • Uma cota para a terceira derivada de no intervalo onde estamos (de 0.1 a 0.3).

Passo 2

Escrever o resto de Lagrange para interpolação de grau 2:
R2(x) ;=;f^(3)(xi)3!,(x - x0)(x - x1)(x - x2),
onde são os nós (aqui 0.1, 0.2 e 0.3) e é algum ponto entre o menor e o maior desses nós. Para achar um limitante, a gente vai substituir por uma cota máxima de no intervalo .

Passo 3

Calcular as derivadas de M = maxxin[0.1,0.3] f^(3)(x) = 8e^2cdot0.3 = 8e^0.6 :

-
-
- .
Como cresce com , no intervalo o maior valor de ocorre em .
Logo, podemos tomar

Passo 4

Agora a gente monta o fator (x-0.1)(x-0.2)(x-0.3)|x=0.25 = (0.25-0.1),(0.25-0.2),(0.25-0.3) = 0.15cdot0.05cdot(-0.05) = -0.000375 em , com , , :
Tomamos o valor absoluto para o erro:
.

Passo 5

Substituindo tudo em
lvert R2(0.25)rvert <= M3!;llvert (0.25-0.1)(0.25-0.2)(0.25-0.3)rrvert
temos
lvert R2(0.25)rvert <= 8e^0.66times0.000375
Sabendo que 8e^0.6approx14.5768 longrightarrow lvert R2(0.25)rvert <= 14.57686times0.000375 approx0.0009111 :

Resposta

Um limitante superior para o erro de truncamento é aproximadamente
boxed;9,11times10^-4;

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