Mostre que os conjuntos
e
, cada uma, forma uma base do espaço dos polinômios de grau 2. Calcule as coordendas de
em cada uma das bases.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
– Enunciado: Temos dois conjuntos de polinômios
e
.
Precisamos mostrar que cada um forma uma base de (polinômios de grau ≤ 2) e depois, dado
– Enunciado: Temos dois conjuntos de polinômios
Precisamos mostrar que cada um forma uma base de
achar as coordenadas de
em cada base.
– Matéria envolvida: espaços vetoriais, bases, independência linear, coordenadas.
– O que vamos usar:
– Matéria envolvida: espaços vetoriais, bases, independência linear, coordenadas.
– O que vamos usar:
- Definição de independência linear: só dá combinação trivial = 0.
- Equacionar coeficientes para achar coordenadas.
Passo 2
Mostrar que
é base de
.
Teoria rápida: um conjunto de 3 polinômios é base de se for linearmente independente (LI), pois
.
Teoria rápida: um conjunto de 3 polinômios é base de
Considera a combinação genérica
Escrevendo em coeficientes de
:
- coeficiente de
: . - coeficiente de
: . - coeficiente constante:
.
Só a solução trivial. Logo são LI. Como são 3 vetores em espaço de dimensão 3, eles formam base.
Passo 3
Mostrar que
é base de
.
Mesma ideia: seja
Mesma ideia: seja
Coeficientes:
-
: . -
: . - constante:
.
Só a trivial. Então também são LI e são 3, logo base.
Passo 4
Coordenadas de
em
.
Queremos tais que
Queremos
Igualando coeficientes:
-
: . -
: . - constante:
Então as coordenadas são
Passo 5
Coordenadas de
em
.
Procuramos com
Procuramos
Igualando coeficientes:
-
: -
: - constante:
Logo
Resposta
–
e
são bases de
.
– Coordenadas de em
:
.
– Coordenadas de em
:
.
– Coordenadas de
– Coordenadas de