Mostre que os conjuntos B1=5, x-1, x^2-3 x e B2=8,3 x+2,5 x^2-3 x, cada uma, forma uma base do espaço dos polinômios de grau 2. Calcule as coordendas de p(x)=3 x^2+x+36 em cada uma das bases.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede.
– Enunciado: Temos dois conjuntos de polinômios
p(x)=3x^2+x+36, e
.
Precisamos mostrar que cada um forma uma base de (polinômios de grau ≤ 2) e depois, dado
achar as coordenadas de em cada base.
– Matéria envolvida: espaços vetoriais, bases, independência linear, coordenadas.
– O que vamos usar:
  1. Definição de independência linear: só dá combinação trivial = 0.
  2. Equacionar coeficientes para achar coordenadas.

Passo 2

Mostrar que acdot 5 ;+; b,(x-1);+; c,(x^2-3x);=;0+0x+0x^2 é base de .
Teoria rápida: um conjunto de 3 polinômios é base de se for linearmente independente (LI), pois .
Considera a combinação genérica
Escrevendo em coeficientes de :
  • coeficiente de : .
  • coeficiente de : .
  • coeficiente constante: .
    Só a solução trivial . Logo são LI. Como são 3 vetores em espaço de dimensão 3, eles formam base.

Passo 3

Mostrar que Acdot 8;+; B,(3x+2);+; C,(5x^2-3x);=;0+0x+0x^2 é base de .
Mesma ideia: seja
Coeficientes:
  • : .
  • : .
  • constante: .
    Só a trivial . Então também são LI e são 3, logo base.

Passo 4

Coordenadas de acdot5;+;b,(x-1);+;c,(x^2-3x) ;=;3x^2+x+36 em [a,b,c]B1 = l(tfrac465,;10,;3r) .
Queremos tais que
Igualando coeficientes:
  • : .
  • : .
  • constante:
Então as coordenadas são

Passo 5

Coordenadas de Acdot8;+;B,(3x+2);+;C,(5x^2-3x) ;=;3x^2+x+36 em [A,B,C]B2=l(tfrac6415,;tfrac1415,;tfrac35r) .
Procuramos com
Igualando coeficientes:
  • :
  • :
  • constante:
Logo

Resposta

e são bases de .
– Coordenadas de em : .
– Coordenadas de em : .

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