Mostre que toda função real e contínua
, com
, possui um ponto
tal que
. Esse resultado é conhecido como Teorema de Rolle.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função real e contínua
e queremos mostrar que existe pelo menos um ponto
Isso é exatamente o Teorema de Rolle, que usa duas ideias principais:
- Teorema do valor extremo (a função contínua num intervalo fechado atinge máximo e mínimo).
- Teorema de Fermat (se
tem derivada e atinge extremo num ponto interior, a derivada ali é zero).
Passo 2
Primeiro, pelo Teorema do valor extremo, como
é contínua em
, ela atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, existem pontos
tais que
Como
, o máximo ou o mínimo (ou ambos) não podem ficar sempre nos extremos, a não ser que a função seja constantemente zero.
Passo 3
Vamos separar em dois casos:
Caso 1:
é constante em
.
Se para todo
, então
para todo
. Pronto, já encontramos
.
Se
Caso 2:
não é constante.
Então o máximo ou o mínimo não está só nos pontos e
. Pelo menos um dos pontos
ou
fica estritamente dentro, digamos
.
Então o máximo ou o mínimo não está só nos pontos
Passo 4
Como
é diferenciável em
e atinge um extremo em
, usamos o Teorema de Fermat, que diz:
Se tem derivada em
e
atinge máximo ou mínimo em
, então
Se
Logo, esse ponto
satisfaz exatamente o que queremos.
Resposta
Existe
tal que
, provando o Teorema de Rolle.