Mostre que toda função real e contínua f:[a, b] R, com f(a)=f(b)=0, possui um ponto c in(a, b) tal que f^prime(c)=0. Esse resultado é conhecido como Teorema de Rolle.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função real e contínua
f:[a,b]toR, f(a)=f(b)=0
e queremos mostrar que existe pelo menos um ponto f'(c)=0 tal que
Isso é exatamente o Teorema de Rolle, que usa duas ideias principais:
  1. Teorema do valor extremo (a função contínua num intervalo fechado atinge máximo e mínimo).
  2. Teorema de Fermat (se tem derivada e atinge extremo num ponto interior, a derivada ali é zero).

Passo 2

Primeiro, pelo Teorema do valor extremo, como f(xM)=max[a,b]f e f(xm)=min[a,b]f é contínua em , ela atinge um valor máximo e um valor mínimo nesse intervalo. Ou seja, existem pontos tais que
Como , o máximo ou o mínimo (ou ambos) não podem ficar sempre nos extremos, a não ser que a função seja constantemente zero.

Passo 3

Vamos separar em dois casos:
Caso 1: é constante em .
Se para todo , então para todo . Pronto, já encontramos .
Caso 2: não é constante.
Então o máximo ou o mínimo não está só nos pontos e . Pelo menos um dos pontos ou fica estritamente dentro, digamos .

Passo 4

Como f'(c)=0 é diferenciável em e atinge um extremo em , usamos o Teorema de Fermat, que diz:
Se tem derivada em e atinge máximo ou mínimo em , então
Logo, esse ponto satisfaz exatamente o que queremos.

Resposta

Existe tal que , provando o Teorema de Rolle.

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