1. Para cada aproximação do exercício anterior, calcule:
    (a) o erro absoluto
    (b) o erro relativo

Passo 1

O enunciado pede que, para cada aproximação do exercício anterior, se calcule:
(a) o erro absoluto;
(b) o erro relativo.
Informações relevantes que seriam necessárias para realizar esses cálculos (mas que não foram fornecidas aqui):
  • O(s) valor(es) exato(s) ou de referência, denotado(s) por \text{valor\_exato}.
  • O(s) valor(es) aproximado(s) correspondente(s), denotado(s) por \text{aprox}_i para cada aproximação i.
Sem esses números (os valores exatos e as aproximações do exercício anterior) não é possível calcular numericamente os erros. A seguir eu explico passo a passo exatamente como calcular esses erros na prova, com definições, fórmulas, exemplos e dicas práticas.

Passo 2

Definição e fórmula do erro absoluto.
  • O erro absoluto mede a diferença em unidades reais entre a aproximação e o valor exato.
  • Para uma aproximação \text{aprox} e um valor exato \text{valor\_exato}, o erro absoluto é dado por
\text{erro\_absoluto} = \left|\text{aprox} - \text{valor\_exato}\right|.
  • Explicação das variáveis:
    • \text{aprox} é o número obtido pela aproximação (por exemplo resultado arredondado, truncado, solução numérica).
    • \text{valor\_exato} é o número verdadeiro ou referência com que se compara.
    • As barras |\cdot| significam valor absoluto: sempre tomamos o módulo da diferença para obter um número não-negativo.
Dica prática para prova: sempre mostre a subtração e depois coloque o valor absoluto. Não omita o módulo para evitar sinais negativos na resposta de erro.

Passo 3

Definição e fórmula do erro relativo.
  • O erro relativo expressa o erro absoluto em relação ao tamanho do valor exato; é adimensional (frequentemente convertido em porcentagem).
  • A fórmula é
\text{erro\_relativo} = \frac{\text{erro\_absoluto}}{\left|\text{valor\_exato}\right|} = \frac{\left|\text{aprox} - \text{valor\_exato}\right|}{\left|\text{valor\_exato}\right|}.
  • Para apresentar em porcentagem, multiplica-se por 100\%:
\text{erro\_relativo(\%)} = 100\% \times \frac{\left|\text{aprox} - \text{valor\_exato}\right|}{\left|\text{valor\_exato}\right|}.
Explicação das variáveis: as mesmas do passo anterior; note que se \text{valor\_exato}=0 o erro relativo NÃO está definido (divisão por zero).

Passo 4

Procedimento passo a passo que você deve fazer na prova (para cada aproximação):
  1. Identificar e escrever claramente \text{valor\_exato} e \text{aprox}.
  2. Calcular a diferença \text{aprox} - \text{valor\_exato}.
  3. Tirar o valor absoluto: \left|\text{aprox} - \text{valor\_exato}\right| → esse é o \text{erro\_absoluto}.
  4. Calcular o erro relativo dividindo pelo módulo do valor exato: \text{erro\_relativo} = \frac{\left|\text{aprox} - \text{valor\_exato}\right|}{\left|\text{valor\_exato}\right|}.
  5. Se pedirem porcentagem, multiplicar por 100\%.
  6. Se \text{valor\_exato}=0, anotar que o erro relativo é indefinido; em muitos contextos pode-se usar erro absoluto ou uma outra referência para normalizar.
Mostre todas as etapas de cálculo na prova; avaliadores gostam de ver o processo.

Passo 5

Exemplo numérico 1 (para fixar; este é um exemplo ilustrativo, não vem do enunciado anterior):
  • Suponha \text{valor\_exato} = 2 e \text{aprox} = 1,9.
  • Erro absoluto:
\text{erro\_absoluto} = \left|1,9 - 2\right| = \left|-0,1\right| = 0,1.
  • Erro relativo:
\text{erro\_relativo} = \frac{0,1}{\left|2\right|} = \frac{0,1}{2} = 0,05.
  • Em porcentagem:
\text{erro\_relativo(\%)} = 0,05 \times 100\% = 5\%.
Interpretação: a aproximação errou em 0,1 unidades, que corresponde a 5\% do valor exato.

Passo 6

Exemplo numérico 2 (quando o valor exato é pequeno):
  • Suponha \text{valor\_exato} = 0,002 e \text{aprox} = 0,0018.
  • Erro absoluto:
\text{erro\_absoluto} = \left|0,0018 - 0,002\right| = 0,0002.
  • Erro relativo:
\text{erro\_relativo} = \frac{0,0002}{\left|0,002\right|} = 0,1.
  • Em porcentagem:
\text{erro\_relativo(\%)} = 0,1 \times 100\% = 10\%.
Lição: mesmo que o erro absoluto seja pequeno ( 2\times10^{-4}), o erro relativo pode ser grande (aqui 10\%) porque o valor exato é pequeno.

Passo 7

Casos especiais e dicas rápidas para a prova
  • Se \text{valor\_exato}=0: informe que o erro relativo é indefinido. Use o erro absoluto para comparar aproximações nesse caso, ou normalizar por outra quantidade relevante.
  • Arredondamento: mantenha casas decimais suficientes durante os cálculos e só arredonde o resultado final; anote quantas casas usou.
  • Sinal: sempre apresente o erro como número não-negativo (use valor absoluto). Se quiser indicar viés (se a aproximação tende a subestimar ou superestimar), apresente também a diferença sem módulo, mas se a questão pedir “erro absoluto” use o módulo.
  • Apresente o erro relativo tanto em forma decimal quanto em porcentagem se a prova não especificar.
  • Se houver várias aproximações \text{aprox}_1,\text{aprox}_2,\dots, repita o procedimento para cada uma e organize numa pequena tabela escrita (por exemplo: coluna com \text{aprox}_i, coluna com \text{erro\_absoluto}, coluna com \text{erro\_relativo(\%)}).

Passo 8

Resumo conciso do que escrever na resposta da prova (modelo pronto)
Para cada aproximação \text{aprox}_i e valor exato \text{valor\_exato}:
  • Calcule e escreva
\text{erro\_absoluto}_i = \left|\text{aprox}_i - \text{valor\_exato}\right|.
  • Em seguida escreva
\text{erro\_relativo}_i = \frac{\text{erro\_absoluto}_i}{\left|\text{valor\_exato}\right|}, \qquad \text{erro\_relativo}_i(\%) = 100\% \times \text{erro\_relativo}_i.
Mostre os cálculos numéricos passo a passo, informe unidades quando for o caso e trate separadamente o caso \text{valor\_exato}=0.

Resposta

Não é possível calcular numericamente o erro absoluto e o erro relativo porque os valores exatos e as aproximações do exercício anterior não foram fornecidos.

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