1. Calcule numericamente f\left(10^{4}\right) usando uma calculadora ou software.
  2. Reescreva a expressão racionalizando o numerador.
  3. Compare os resultados obtidos e discuta a diferença de precisão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações foram dadas. O enunciado faz três pedidos:
  1. Calcular numericamente f\left(10^{4}\right) usando uma calculadora ou software.
  2. Reescrever a expressão racionalizando o numerador.
  3. Comparar os resultados obtidos e discutir a diferença de precisão.
Informação dada no enunciado que é necessária para resolver: a expressão explícita da função f(x).
Observação importante: o enunciado não fornece a expressão de f(x). Sem conhecer a fórmula de f(x) não é possível executar os três pedidos exatamente como estão escritos (não dá para calcular numericamente, nem racionalizar o numerador, nem comparar precisão) porque todas essas operações dependem da forma da função.

Passo 2

Explicitação do porquê não é possível responder diretamente aos pedidos dados: para calcular numericamente f\left(10^{4}\right) é necessário saber o que é f(x). Para reescrever a expressão racionalizando o numerador também é preciso a expressão simbólica de f(x). Para comparar resultados e discutir diferença de precisão precisamos de pelo menos duas formas computacionais da mesma expressão (por exemplo, forma original e forma racionalizada) avaliadas numericamente — novamente, isso depende da forma de f.
Portanto, com a informação atual do enunciado: não há como fornecer os valores pedidos porque a função f não foi fornecida.

Passo 3

Como não posso pedir ao enunciador qual é f, vou proceder de modo pedagógico: apresento um exemplo clássico que ilustra exatamente o tipo de problema que você provavelmente tem que estudar em provas. Este exemplo mostra a ideia de “racionalizar o numerador” e comparar precisão numérica — assim você aprende a técnica e consegue aplicá‑la ao problema certo quando tiver a expressão de f.
Exemplo escolhido (muito comum em exercícios de precisão numérica):
f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}.
Este exemplo é apropriado porque, para x grande, as duas raízes são muito próximas e a subtração pode causar perda de precisão (cancellation), motivo pelo qual costuma‑se racionalizar o numerador.
Nota: isso é um exemplo didático. Não estou assumindo que essa seja a sua f; é só um exemplo para ensinar a técnica que você pediu.

Passo 4

Ensinar a técnica: como racionalizar o numerador de \sqrt{x+1}-\sqrt{x}.
Começamos pela identidade algébrica que usa a conjugada:
\sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.
Portanto, para todo x\ge 0 vale a igualdade exata
\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.
A vantagem prática: em vez de calcular duas raízes muito próximas e subtrair, calcula‑se uma soma de números de ordem O(\sqrt{x}) e depois uma divisão — isso evita a subtração de dois números quase iguais, reduzindo a perda de algarismos significativos.

Passo 5

Avaliação numérica do exemplo em x=10^{4} — faço ambas as formas (a forma direta na diferença e a forma racionalizada) com aproximações suficientes para ilustrar.
Primeiro, calcule as raízes com expansão em série (ou com uma calculadora de boa precisão):
\sqrt{10001}=100\sqrt{1+10^{-4}}.
Usando a série de Taylor \sqrt{1+\varepsilon}=1+\tfrac{\varepsilon}{2}-\tfrac{\varepsilon^{2}}{8}+\cdots com \varepsilon=10^{-4}, obtemos
\sqrt{10001}\approx 100\left(1+5\times10^{-5}-1{,}25\times10^{-9}\right) =100{,}00499987500000625\\ (\text{aprox.}).
Então a avaliação direta dá
\sqrt{10001}-\sqrt{10000}\approx 100{,}00499987500000625-100=0{,}00499987500000625.
Agora a forma racionalizada:
\frac{1}{\sqrt{10001}+\sqrt{10000}}=\frac{1}{100{,}00499987500000625+100} =\frac{1}{200{,}00499987500000625}.
Fazendo a divisão com expansão (ou calculadora) obtemos
\frac{1}{200{,}00499987500000625}\approx 0{,}004999875003125\\ (\text{aprox.}).
Observação sobre as duas aproximações acima: ambas representam a mesma quantidade exata (a identidade algébrica garante isso). As pequenas diferenças entre os valores escritos decorrem apenas das aproximações truncadas usadas nas etapas manuais. Se ambas forem avaliadas com aritmética exata ou com precisão arbitrariamente alta, coincidem exatamente.

Passo 6

Discussão didática sobre precisão numérica e por que a forma racionalizada é preferível em computação:
  • Problema da subtração de números próximos (cancellation): se dois números a e b têm erros absolutos da ordem de \varepsilon|a| e \varepsilon|b| (onde \varepsilon é a precisão relativa da máquina), então a diferença a-b pode ter um erro absoluto aproximadamente \varepsilon(|a|+|b|). Assim o erro relativo na diferença pode ficar aproximadamente
\frac{\varepsilon(|a|+|b|)}{|a-b|}.
Se |a-b|\ll |a| esse fator pode ser muito grande — ou seja, muitos dígitos significativos se perdem.
  • Aplicando ao nosso exemplo: aqui a=\sqrt{10001}\approx100, b=\sqrt{10000}=100, e |a-b|\approx 0{,}005. Então a amplificação do erro é da ordem de \dfrac{100}{0{,}005}=20000. Em aritmética de precisão simples (por exemplo, precisão relativa de ordem 10^{-7}), esse fator pode tornar o resultado praticamente inútil. Em aritmética dupla (precisão relativa de ordem 10^{-16}) o efeito é muito menor, mas ainda existe: o erro absoluto final seria da ordem de 10^{-16}\times 20000\approx 2\times10^{-12}, que pode ser aceitável — depende da aplicação.
  • A forma racionalizada evita a subtração de dois números de magnitude semelhante: ela calcula primeiro \sqrt{x+1}+\sqrt{x} (um número de ordem 2\sqrt{x}), depois realiza uma única divisão por esse número. Essa operação não sofre da amplificação por |a-b| pequena, então em máquinas com precisão limitada ela produz resultado final com muito mais dígitos corretos do que a subtração direta.

Passo 7

Resumo prático e orientação para a prova (como fazer na hora):
  • Sempre que vir uma expressão do tipo \sqrt{A}-\sqrt{B} com A e B próximos e tiver que avaliar numericamente, pense em multiplicar por \dfrac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} e obter uma expressão racionalizada do tipo \dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}.
  • Em geral, racionalize para evitar subtrações entre números muito próximos; isso reduz erros por cancelamento.
  • Se precisar justificar precisão, use a estimativa grosseira de amplificação de erro que aparece em \dfrac{\varepsilon(|a|+|b|)}{|a-b|} para explicar por que a subtração é ruim em precisão limitada.

Passo 8

Conclusão sobre o enunciado original: com os dados fornecidos (apenas os pedidos 1–3, sem a expressão de f) não é possível executar literalmente os pedidos. Apresentei um exemplo clássico e resolvi esse exemplo para que você compreenda o método e como discutir a precisão — aplique o mesmo raciocínio assim que tiver a expressão real de f(x).

Resposta

Não é possível calcular f\left(10^{4}\right) porque a expressão de f(x) não foi fornecida.
Não é possível reescrever a expressão racionalizando o numerador porque a expressão de f(x) não foi fornecida.
Não é possível comparar os resultados nem discutir a diferença de precisão porque as formas a serem comparadas dependem da expressão de f(x) (ver exemplo didático no corpo da solução).

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