Em cada casa de um tabuleiro
é colocado um dos números
. Prove que, dentre as oito somas ao longo de uma mesma linha, coluna ou diagonal, existem duas iguais.
Passo 1
Beleza, amigo! Temos um tabuleiro 3×3 onde cada casa recebe um número em {-1,0,1}. A tarefa é provar que, ao somar os valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal (total de 8 somas), sempre vai haver pelo menos duas somas iguais.
Conteúdo: combinatória básica, mais especificamente o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle). Vamos precisar saber que, se você coloca mais “pombos” do que “casas”, dois pombos acabam numa mesma casa.
Conteúdo: combinatória básica, mais especificamente o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle). Vamos precisar saber que, se você coloca mais “pombos” do que “casas”, dois pombos acabam numa mesma casa.
Passo 2
Primeiro, veja que cada linha, coluna ou diagonal soma três números de {-1,0,1}. Logo, a soma
de qualquer uma dessas 8 “linhas” só pode ser
ou seja, há 7 valores possíveis para cada
.
Passo 3
Princípio da Casa dos Pombos diz: se você tem
pombos e
casas, e
, então pelo menos uma casa recebe dois pombos. Aqui:
- “Pombos” = as 8 somas.
- “Casas” = os 7 valores possíveis de soma.
Passo 4
Como
(somas) >
(valores possíveis), o princípio garante que duas dessas somas caem no mesmo valor.
Resposta
Portanto, dentre as oito somas ao longo de linhas, colunas e diagonais, sempre haverá pelo menos duas iguais.