Em cada casa de um tabuleiro 3 times 3 é colocado um dos números -1,0,1. Prove que, dentre as oito somas ao longo de uma mesma linha, coluna ou diagonal, existem duas iguais.

Passo 1

Beleza, amigo! Temos um tabuleiro 3×3 onde cada casa recebe um número em {-1,0,1}. A tarefa é provar que, ao somar os valores de cada linha, cada coluna e cada diagonal (total de 8 somas), sempre vai haver pelo menos duas somas iguais.
Conteúdo: combinatória básica, mais especificamente o Princípio da Casa dos Pombos (Pigeonhole Principle). Vamos precisar saber que, se você coloca mais “pombos” do que “casas”, dois pombos acabam numa mesma casa.

Passo 2

Primeiro, veja que cada linha, coluna ou diagonal soma três números de {-1,0,1}. Logo, a soma S in -1-1-1,,-1-1+0,dots,1+1+1 ;=;-3,-2,-1,0,1,2,3, de qualquer uma dessas 8 “linhas” só pode ser
ou seja, há 7 valores possíveis para cada .

Passo 3

Princípio da Casa dos Pombos diz: se você tem pombos e casas, e , então pelo menos uma casa recebe dois pombos. Aqui:
  • “Pombos” = as 8 somas.
  • “Casas” = os 7 valores possíveis de soma.

Passo 4

Como (somas) > (valores possíveis), o princípio garante que duas dessas somas caem no mesmo valor.

Resposta

Portanto, dentre as oito somas ao longo de linhas, colunas e diagonais, sempre haverá pelo menos duas iguais.

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