Seja C um conjunto formado por cinco pontos de coordenadas inteiras no plano. Provar que o ponto médio de algum dos segmentos com extremos em C tem também coordenadas inteiras.

Passo 1

O enunciado diz: temos um conjunto C com cinco pontos cujas coordenadas são números inteiros no plano. A tarefa é mostrar que existe pelo menos um par de pontos em C cujo ponto médio também tem coordenadas inteiras.
Conteúdo: vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) e a ideia de “paridade” (número par ou ímpar). Precisamos entender como a soma de dois inteiros pares ou ímpares se comporta.

Passo 2

Primeiro, o que é paridade?
  • Um número inteiro é par se for múltiplo de 2, isto é, x=2k para algum inteiro k.
  • É ímpar se ficar na forma x=2k+1.
Se você soma dois pares, o resultado é par. Se soma dois ímpares, também dá par. Se soma um par e um ímpar, dá ímpar.

Passo 3

Cada ponto (x,y)in C tem duas coordenadas, então pode cair em uma de quatro “caixinhas” de paridade, dependendo de (x!bmod!2,;y!bmod!2):
  1. (0,0) – as duas coordenadas são pares
  2. (0,1) – x é par, y é ímpar
  3. (1,0) – x é ímpar, y é par
  4. (1,1) – as duas são ímpares
São só 4 classes, mas temos 5 pontos em C.

Passo 4

Pelo princípio da casa dos pombos, se colocar 5 “pombos” (pontos) em 4 “casas” (classes de paridade), alguma casa receberá pelo menos 2 pontos. Ou seja, existem dois pontos
A=(x1,y1) e B=(x2,y2)
com a mesma paridade em x e a mesma paridade em y.

Passo 5

O ponto médio de AB é
M;=;l(,x1+x22,;y1+y22r)
Como x1 e x2 têm a mesma paridade, x1+x2 é par, então x1+x22 é inteiro. O mesmo vale para y1+y2. Logo as duas coordenadas de M são inteiras.

Resposta

Concluímos que, entre os cinco pontos, sempre há dois cuja soma de coordenadas é par para cada uma das componentes, e assim o ponto médio desses dois pontos tem coordenadas inteiras.

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