Seja
um conjunto formado por cinco pontos de coordenadas inteiras no plano. Provar que o ponto médio de algum dos segmentos com extremos em
tem também coordenadas inteiras.
Passo 1
O enunciado diz: temos um conjunto C com cinco pontos cujas coordenadas são números inteiros no plano. A tarefa é mostrar que existe pelo menos um par de pontos em C cujo ponto médio também tem coordenadas inteiras.
Conteúdo: vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) e a ideia de “paridade” (número par ou ímpar). Precisamos entender como a soma de dois inteiros pares ou ímpares se comporta.
Conteúdo: vamos usar o princípio da casa dos pombos (pigeonhole principle) e a ideia de “paridade” (número par ou ímpar). Precisamos entender como a soma de dois inteiros pares ou ímpares se comporta.
Passo 2
Primeiro, o que é paridade?
- Um número inteiro é par se for múltiplo de 2, isto é,
para algum inteiro . - É ímpar se ficar na forma
.
Se você soma dois pares, o resultado é par. Se soma dois ímpares, também dá par. Se soma um par e um ímpar, dá ímpar.
Passo 3
Cada ponto
tem duas coordenadas, então pode cair em uma de quatro “caixinhas” de paridade, dependendo de
:
-
– as duas coordenadas são pares -
– x é par, y é ímpar -
– x é ímpar, y é par -
– as duas são ímpares
São só 4 classes, mas temos 5 pontos em C.
Passo 4
Pelo princípio da casa dos pombos, se colocar 5 “pombos” (pontos) em 4 “casas” (classes de paridade), alguma casa receberá pelo menos 2 pontos. Ou seja, existem dois pontos
e
com a mesma paridade em e a mesma paridade em
.
com a mesma paridade em
Passo 5
O ponto médio de
é
Como
Resposta
Concluímos que, entre os cinco pontos, sempre há dois cuja soma de coordenadas é par para cada uma das componentes, e assim o ponto médio desses dois pontos tem coordenadas inteiras.