São escolhidos 6 números quaisquer pertencentes ao conjunto
Provar que existem dois desses seis números cuja soma é ímpar.
Passo 1
Então, a questão diz: “Escolhemos 6 números quaisquer do conjunto
. Provar que, entre esses seis, sempre vai ter um par cuja soma é ímpar.”
Estamos na parte de teoria dos números, mais especificamente paridade e princípio da casa dos pombos (Dirichlet). Para resolver, vamos lembrar o que é número par, ímpar, como eles somam e usar que há só 5 pares e 5 ímpares em .
Estamos na parte de teoria dos números, mais especificamente paridade e princípio da casa dos pombos (Dirichlet). Para resolver, vamos lembrar o que é número par, ímpar, como eles somam e usar que há só 5 pares e 5 ímpares em
Passo 2
Primeiro o básico de teoria:
- Número par = toda forma
. Exemplos em : . - Número ímpar = toda forma
. Exemplos em : .
Importante: - Par + Par = Par
- Ímpar + Ímpar = Par
- Par + Ímpar = Ímpar
Passo 3
A soma só é ímpar quando você pega um par e um ímpar. O truque é provar que, ao escolher 6 números de
, você forçosamente pega pelo menos um par e pelo menos um ímpar.
Passo 4
Em
há 5 pares e 5 ímpares. Se você escolhe 6 números, por princípio da casa dos pombos (ou Dirichlet), não dá pra colocar 6 escolhidos só nos 5 pares (ou só nos 5 ímpares). Ou seja, você não consegue escolher todos os 6 só de números pares, nem só de ímpares, porque só existem 5 de cada. Logo, na sua escolha de 6 tem que entrar pelo menos um par e pelo menos um ímpar.
Passo 5
Como há pelo menos um número par
e um número ímpar
entre os seis, a soma
é ímpar (pela regra Par + Ímpar = Ímpar).
Resposta
Portanto, em qualquer seleção de 6 números do conjunto
sempre existe um par de números cuja soma é ímpar.