São escolhidos 6 números quaisquer pertencentes ao conjunto
A=1,2,3, ldots, 10
Provar que existem dois desses seis números cuja soma é ímpar.

Passo 1

Então, a questão diz: “Escolhemos 6 números quaisquer do conjunto
. Provar que, entre esses seis, sempre vai ter um par cuja soma é ímpar.”
Estamos na parte de teoria dos números, mais especificamente paridade e princípio da casa dos pombos (Dirichlet). Para resolver, vamos lembrar o que é número par, ímpar, como eles somam e usar que há só 5 pares e 5 ímpares em .

Passo 2

Primeiro o básico de teoria:
  • Número par = toda forma . Exemplos em : .
  • Número ímpar = toda forma . Exemplos em : .
    Importante:
  • Par + Par = Par
  • Ímpar + Ímpar = Par
  • Par + Ímpar = Ímpar

Passo 3

A soma só é ímpar quando você pega um par e um ímpar. O truque é provar que, ao escolher 6 números de , você forçosamente pega pelo menos um par e pelo menos um ímpar.

Passo 4

Em há 5 pares e 5 ímpares. Se você escolhe 6 números, por princípio da casa dos pombos (ou Dirichlet), não dá pra colocar 6 escolhidos só nos 5 pares (ou só nos 5 ímpares). Ou seja, você não consegue escolher todos os 6 só de números pares, nem só de ímpares, porque só existem 5 de cada. Logo, na sua escolha de 6 tem que entrar pelo menos um par e pelo menos um ímpar.

Passo 5

Como há pelo menos um número par p + q e um número ímpar entre os seis, a soma
é ímpar (pela regra Par + Ímpar = Ímpar).

Resposta

Portanto, em qualquer seleção de 6 números do conjunto sempre existe um par de números cuja soma é ímpar.

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