Questão 1
Completo


Seja o sistema linear \(\mathrm{Ax}=\mathrm{b}\) definido pelas matrizes abaixo:
\(A=\left[\begin{array}{ccc}11 & 1 & 4 \\\\ 4 & 12 & 1 \\\\ 4 & 4 & -13\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}-2 \\\\ 11 \\\\ 4\end{array}\right]\).
Quantas iterações são necessárias para se obter uma solução com três algarismos significativos de precisão (Erro < \(10^{-3}\) ) usando o método de Gauss-Seidel? Use o vetor nulo como chute inicial.
a. 3
b. 4
c. 5
d. 10
e. 6
\(\square\)

Passo 1

O enunciado dá o sistema A x = b com
A = \begin{pmatrix} 11 & 1 & 4 \\\\ 4 & 12 & 1 \\\\ 4 & 4 & -13 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-2\\\\ 11\\\\ 4\end{pmatrix},
e pede o número de iterações do método de Gauss– Seidel, com x^{(0)}=(0,0,0)^T, até atingir erro menor que 10^{-3} (três algarismos significativos).

Passo 2

Verificamos que A é estritamente diagonal dominante pelas linhas, logo o método de Gauss–Seidel converge.

Passo 3

As fórmulas iterativas são, para k\ge0:
x_1^{(k+1)} = \frac{b_1 - a_{12}\,x_2^{(k)} - a_{13}\,x_3^{(k)}}{a_{11}},\quad x_2^{(k+1)} = \frac{b_2 - a_{21}\,x_1^{(k+1)} - a_{23}\,x_3^{(k)}}{a_{22}},\quad x_3^{(k+1)} = \frac{b_3 - a_{31}\,x_1^{(k+1)} - a_{32}\,x_2^{(k+1)}}{a_{33}}.

Passo 4

Cálculo de x^{(1)} partindo de x^{(0)}=(0,0,0)^T:
x_1^{(1)}=\frac{-2}{11}\approx -0.181818,\quad x_2^{(1)}=\frac{11 -4(-0.181818)}{12}\approx 0.977273,\quad x_3^{(1)}=\frac{4 -4(-0.181818)-4(0.977273)}{-13}\approx -0.062937.
O erro máximo \|x^{(1)}-x^*\|_\infty\approx0.0644>10^{-3}.

Passo 5

Cálculo de x^{(2)}:
x_1^{(2)}\approx -0.247775,\quad x_2^{(2)}\approx 1.004503,\quad x_3^{(2)}\approx -0.074854,
com erro máximo \approx0.001588>10^{-3}.

Passo 6

Cálculo de x^{(3)}:
x_1^{(3)}\approx -0.246826,\quad x_2^{(3)}\approx 1.005180,\quad x_3^{(3)}\approx -0.074354,
e o erro máximo \|x^{(3)}-x^*\|_\infty\approx0.000639<10^{-3}. Portanto, em 3 iterações já atingimos a precisão desejada.

Resposta

a. 3

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