Sejam ABCD um losango, com <BAD><ABC, e P e Q pontos nos lados AB e AD respectivamente, tais que o triângulo PCQ é equilátero, com lado igual ao lado do losango. Encontre as medidas dos ângulos do losango, em graus.

Passo 1

O enunciado fala de um losango ABCD de lado igual a uma unidade, com \angle BAD<\angle ABC. Nos lados AB e AD tomam-se pontos P e Q tais que o triângulo PCQ é equilátero de lado igual ao lado do losango. Queremos encontrar as medidas dos ângulos internos do losango.

Passo 2

Vamos colocar coordenadas para facilitar. Seja o lado do losango igual a 1 e \alpha=\angle BAD. Colocamos
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad D=(\cos\alpha,\;\sin\alpha).
Como ABCD é paralelogramo,
C=B+D=(1+\cos\alpha,\;\sin\alpha).

Passo 3

O fato de PCQ ser equilátero de lado 1 implica, em particular, que
PC=1.
Se P está em AB, então P=(p,0) com 0\le p\le1 e
PC^2=(1+\cos\alpha-p)^2+(\sin\alpha)^2=1.
Desenvolvendo e simplificando chega-se a
(1+\cos\alpha-p)^2=\cos^2\alpha \;\Longrightarrow\; p=1\quad\text{ou}\quad p=1+2\cos\alpha.
Como 0\le p\le1 e \cos\alpha>0 (já que \alpha<90^\circ), a única possibilidade é p=1. Logo
P=B.

Passo 4

Agora o triângulo PCQ torna-se o triângulo BCQ equilátero de lado BC=1. Construí-lo geometricamente significa girar o vetor \overrightarrow{BC} em +60^\circ ou em -60^\circ em torno de B. Só a rotação em +60^\circ pode colocar o vértice Q sobre o segmento AD. Ao impor essa condição verifica-se que
\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \;\Longrightarrow\; \alpha=60^\circ.

Resposta

Os ângulos internos do losango são 60^\circ e 120^\circ.

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