Sejam ABCD um losango, com <BAD><ABC, e P e Q pontos nos lados AB e AD respectivamente, tais que o triângulo PCQ é equilátero, com lado igual ao lado do losango. Encontre as medidas dos ângulos do losango, em graus.
Passo 1
O enunciado fala de um losango ABCD de lado igual a uma unidade, com \angle BAD<\angle ABC. Nos lados AB e AD tomam-se pontos P e Q tais que o triângulo PCQ é equilátero de lado igual ao lado do losango. Queremos encontrar as medidas dos ângulos internos do losango.
Passo 2
Vamos colocar coordenadas para facilitar. Seja o lado do losango igual a 1 e \alpha=\angle BAD. Colocamos
Como 0\le p\le1 e \cos\alpha>0 (já que \alpha<90^\circ), a única possibilidade é p=1. Logo
P=B.
Passo 4
Agora o triângulo PCQ torna-se o triângulo BCQ equilátero de lado BC=1. Construí-lo geometricamente significa girar o vetor \overrightarrow{BC} em +60^\circ ou em -60^\circ em torno de B. Só a rotação em +60^\circ pode colocar o vértice Q sobre o segmento AD. Ao impor essa condição verifica-se que