Em cada caso:
Resolva por Gauss-Seidel, se possível:
A=[ccc 10 & 1 & 1 1 & 10 & 1 1 & 1 & 10 ] ; b=[l 12 12 12 ] e A=[cccc 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 ] ; b=[l 1 1 1 1 ]

Passo 1

Beleza, então a questão pede pra usar o método de Gauss–Seidel em dois sistemas lineares. Isso faz parte de métodos iterativos para resolver xi^(k+1) ;=;1aiil(bi-sumjiaijxj^(k)r) .
O que a gente vai precisar:
  1. Verificar se a matriz é diagonalmente dominante (isso garante convergência).
  2. Escrever a fórmula de Gauss–Seidel:
  1. Escolher um chute inicial (vamos usar ).
  2. Iterar até a solução estabilizar (ou até um número de iterações razoável).

Passo 2

Sistema:
A=10&1&11&10&11&1&10, b=121212
  1. Checagem rápida: em cada linha, o valor absoluto do pivô (10) é maior que a soma dos outros (1+1=2), então é diagonalmente dominante → Gauss–Seidel converge.
  2. Escrevendo as fórmulas iterativas:
x1^(k+1) = dfrac12 - 1cdot x2^(k) - 1cdot x3^(k)10,[6pt] x2^(k+1) = dfrac12 - 1cdot x1^(k+1) - 1cdot x3^(k)10,[6pt] x3^(k+1) = dfrac12 - 1cdot x1^(k+1) - 1cdot x2^(k+1)10
  1. Chute inicial: x1^(1)&=tfrac12-0-010=1.2, x2^(1)&=tfrac12-1.2-010=1.08, x3^(1)&=tfrac12-1.2-1.0810=0.972 .
  2. Iteração 1:
x1^(2)&=tfrac12-1.08-0.97210=0.9948, x2^(2)&=tfrac12-0.9948-0.97210=1.00332, x3^(2)&=tfrac12-0.9948-1.0033210=1.000188
Iteração 2:
x=(1,,1,,1)
Já está quase em , e continuando mais umas iterações ele se estabiliza em

Passo 3

Sistema:
A= 4 & -1 & 0 & 0 -1 & 4 & -1 & 0 0 & -1 & 4 & -1 0 & 0 & -1 & 4 , b=1111
  1. Cada linha tem x1^(k+1)=dfrac1-(-1)x2^(k)4=dfrac1+x2^(k)4,[4pt] x2^(k+1)=dfrac1-(-1)x1^(k+1)-(-1)x3^(k)4 =dfrac1+x1^(k+1)+x3^(k)4,[4pt] x3^(k+1)=dfrac1+x2^(k+1)+x4^(k)4, x4^(k+1)=dfrac1+x3^(k+1)4 (ou só um -1 em borda), logo também é diagonalmente dominante → converge.
  2. Fórmulas:
x^(1)=(0.25,;0.3125,;0.328125,;0.33203125)
  1. x^(2)approx(0.3281,;0.4141,;0.4365,;0.3591) .
  2. Iteração 1:
xapproxl(0.363636,;0.454545,;0.454545,;0.363636r),
Iteração 2:
Se a gente continuar até estabilizar, chega em
que é, exatamente,
.

Resposta

  • Para o primeiro sistema: .
  • Para o segundo sistema: .

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