Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 0 ]
Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para t de forma que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente olhar pro sistema
$$
0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 x1x2x3 = 100,
t>0

betai,
$$
e determinar para quais maxibetai<1 o Critério de Sassenfeld bate.
Matéria: convergência de métodos iterativos (Gauss–Seidel) usando o critério de Sassenfeld.
O que precisamos fazer:
1) trocar linhas para ter pivôs (elementos da diagonal) não nulos,
2) calcular os coeficientes de Sassenfeld t,
3) exigir e resolver em .

Passo 2

Como a primeira linha tem a11=0, vamos trocar linha 1 com linha 3.
Após a troca, o sistema vira
$$
t & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 x1x2x3 = 0 0 1
a11=tneq0

a22=2neq0.
$$
Agora temos a33=1neq0, , , beleza pra aplicar Sassenfeld.

Passo 3

O Critério de Sassenfeld diz que, pra convergir no Gauss–Seidel, a gente define
betai ;=;sumj=1^i-1|aij|;betaj;+;sumj=i+1^n|aij||aii|,
e precisa que
maxibetai ;<;1
Vamos calcular linha a linha:
  1. Para i=1:
beta1=|a12|+|a13||a11| =|2|+|0||t| =2t
  1. Para i=2:
beta2=|a21|;beta1+|a23||a22| =2cdot2t+02 =2t
  1. Para i=3:
beta3=|a31|;beta1+|a32|;beta2|a33| =0cdotbeta1+0cdotbeta21 =0

Passo 4

Queremos
maxl(beta1,beta2,beta3r) =max!l(tfrac2t,tfrac2t,0r) <1 Longrightarrow 2t<1 ;Longrightarrow; t>2

Resposta

O critério de Sassenfeld é satisfeito para todo t>2.

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