Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre Z times Z. Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(a, b) *(c, d)=(a c, 0)

Passo 1

Beleza, amigo! Temos uma operação definida em pares de inteiros:
.
O que a gente precisa verificar são três coisinhas básicas de Álgebra:
  1. se é associativa;
  2. se é comutativa;
  3. se existe elemento neutro.
    Pra isso, vamos revisar rapidinho o que cada definição quer dizer e depois fazer as contas.

Passo 2

Verificando associatividade
Definição informal: a operação “ l((a,b)*(c,d)r)*(e,f) ;=; (a,b)*l((c,d)*(e,f)r) ” é associativa se pra todo (a,b)*(c,d) = (a,c,0), valendo
l((a,b)*(c,d)r)*(e,f) = (a,c,0)*(e,f) = l((a,c),e,,0l) = (a,c,e,,0)
Vamos calcular os dois lados:
Lado esquerdo:
(c,d)*(e,f) = (c,e,0),
então
(a,b)*l((c,d)*(e,f)r) = (a,b)*(c,e,0) = l(a,(c,e),,0l) = (a,c,e,,0)
Lado direito:
então
Como os dois lados dão , a operação é associativa.

Passo 3

Verificando comutatividade
Definição informal: “ (a,b)*(c,d) = (c,d)*(a,b) ” é comutativa se
(a,b)*(c,d) = (a,c,0) e (c,d)*(a,b) = (c,a,0)
sempre.
Bom, já sabemos
(a,c,0) = (c,a,0)
Como nos inteiros, os resultados coincidem:
Logo é comutativa.

Passo 4

Procurando elemento neutro
Procuramos um (a,b)*(e1,e2) = (a,b) e (e1,e2)*(a,b) = (a,b) tal que, pra todo (a,b)*(e1,e2) = (a,e1,,0) stackrel!=(a,b) , valha
(e1,e2)*(a,b) = (e1,a,0) = (a,b)
– Pelo primeiro:
Isso exige (ok se ) e . Mas é qualquer inteiro, então não dá pra ter sempre.
– Pelo segundo:
gera a mesma chatice de exigir .
Não existe nenhum par que funcione pra todo . Ou seja, não há elemento neutro.

Resposta

A operação é associativa e comutativa, mas não possui elemento neutro.

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