Em cada caso a seguir está definida uma operação sobre
. Verifique se ela é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
Passo 1
Beleza, amigo! Temos uma operação definida em pares de inteiros:
.
O que a gente precisa verificar são três coisinhas básicas de Álgebra:
O que a gente precisa verificar são três coisinhas básicas de Álgebra:
- se é associativa;
- se é comutativa;
- se existe elemento neutro.
Pra isso, vamos revisar rapidinho o que cada definição quer dizer e depois fazer as contas.
Passo 2
Verificando associatividade
Definição informal: a operação “ ” é associativa se pra todo
valendo
Definição informal: a operação “
Vamos calcular os dois lados:
Lado esquerdo:
então
Lado direito:
então
Como os dois lados dão
, a operação é associativa.
Passo 3
Verificando comutatividade
Definição informal: “ ” é comutativa se
Definição informal: “
sempre.
Bom, já sabemos
Bom, já sabemos
Como
nos inteiros, os resultados coincidem:
Logo é comutativa.
Passo 4
Procurando elemento neutro
Procuramos um tal que, pra todo
, valha
Procuramos um
– Pelo primeiro:
Isso exige
(ok se
) e
. Mas
é qualquer inteiro, então não dá pra ter
sempre.
– Pelo segundo:
– Pelo segundo:
gera a mesma chatice de exigir
.
Não existe nenhum par
que funcione pra todo
. Ou seja, não há elemento neutro.
Resposta
A operação é associativa e comutativa, mas não possui elemento neutro.