Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}_{+})e (x * y=\sqrt{x{2}+y{2}})
(E=\mathbb{R}_{+})e (x * y=\sqrt{x{2}+y{2}})
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente analisar a operação
definida em (os reais não‐negativos).
Conteúdo: estruturas algébricas – vamos usar as definições de
definida em
Conteúdo: estruturas algébricas – vamos usar as definições de
- comutativa:
- associativa:
- elemento neutro: um
tal que .
Agora vamos testar cada propriedade, sem pressa e sem pular etapas.
Passo 2
Verificando a comutatividade
- Definição: uma operação
é comutativa se, para todo , - Aqui:
e
- Como soma é comutativa (
), temos
Logo,
. A operação é comutativa.
Passo 3
Verificando a associatividade
- Definição:
é associativa se, para todo , - Vamos calcular cada lado:
Lado 1:
.
Lado 2:
- Como ambos dão
, concluímos
Assim, a operação é associativa.
Passo 4
Buscando o elemento neutro
- Queremos
tal que, para todo , - Escrevendo:
- Elevando ao quadrado (e lembrando que
):
- Achamos
, mas atenção: se for “números positivos estritos” (sem o zero), então 0 não pertence ao conjunto e não há neutro lá. Se incluir o zero, então 0 é neutro.
Resposta
A operação
em
é:
- Comutativa: sim.
- Associativa: sim.
- Elemento neutro: seria
, porém se não incluir o zero, então não há neutro em .