Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{R}_{+})e (x * y=\sqrt{x{2}+y{2}})

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente analisar a operação

definida em (os reais não‐negativos).
Conteúdo: estruturas algébricas – vamos usar as definições de
  1. comutativa:
  2. associativa:
  3. elemento neutro: um tal que .
    Agora vamos testar cada propriedade, sem pressa e sem pular etapas.

Passo 2

Verificando a comutatividade
  • Definição: uma operação x*y = y*x é comutativa se, para todo raizx^2 + y^2 = raizy^2 + x^2,
  • Aqui:

    e
  • Como soma é comutativa ( ), temos
Logo, . A operação é comutativa.

Passo 3

Verificando a associatividade
  • Definição: (x*y)*z = x*(y*z) é associativa se, para todo (x*y)*z = x*(y*z),
  • Vamos calcular cada lado:
    Lado 1:
    .
    Lado 2:
  • Como ambos dão , concluímos
Assim, a operação é associativa.

Passo 4

Buscando o elemento neutro
  • Queremos x * e = x tal que, para todo ,
  • Escrevendo:
  • Elevando ao quadrado (e lembrando que ):
  • Achamos , mas atenção: se for “números positivos estritos” (sem o zero), então 0 não pertence ao conjunto e não há neutro lá. Se incluir o zero, então 0 é neutro.

Resposta

A operação em é:
  • Comutativa: sim.
  • Associativa: sim.
  • Elemento neutro: seria , porém se não incluir o zero, então não há neutro em .

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