Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{Z}) e (x * y=x y+2 x)
(E=\mathbb{Z}) e (x * y=x y+2 x)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que estamos em
e a operação é
A gente precisa ver três coisas:
- Se * é associativa:
. - Se * é comutativa:
. - Se existe elemento neutro
tal que e .
Pra isso, vamos usar definições diretas: comparar expressões e resolver equações em
.
Passo 2
Queremos ver se
ou seja
Mas
, então a diferença está nos termos “+ 2x” versus “+ 2y”.
Em geral (pense em
:
).
Logo, não é comutativa.
Em geral
Logo, não é comutativa.
Passo 3
Precisamos comparar
e
.
- Calcular
:
então
- Calcular
:
logo
Comparando:
Tem uns termos a mais no primeiro (tipo
), então não é associativa.
Passo 4
Procuramos
tal que, para todo
:
- De
:
Se
, isso força
, ou seja
.
De fato, para todo ,
De fato, para todo
Então
é neutro à direita.
- Mas tem de verificar
:
(ex.: se
, dá
).
Isso mostra que não existe um único
que cumpra as duas condições ao mesmo tempo.
Resposta
A operação
em
- não é comutativa;
- não é associativa;
- não tem elemento neutro dois-lados (só existe neutro à direita, que é
, mas não há neutro à esquerda).