Em cada caso a seguir: Verifique se a operação (*) sobre (E) é associativa, comutativa ou possui elemento neutro.
(E=\mathbb{Z}) e (x * y=x y+2 x)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que estamos em x * y ;=; x,y ;+; 2x e a operação é
A gente precisa ver três coisas:
  1. Se * é associativa: .
  2. Se * é comutativa: .
  3. Se existe elemento neutro tal que e .
Pra isso, vamos usar definições diretas: comparar expressões e resolver equações em .

Passo 2

Queremos ver se
x*y = y*x
ou seja
x,y + 2x = y,x + 2y
Mas , então a diferença está nos termos “+ 2x” versus “+ 2y”.
Em geral (pense em : ).
Logo, não é comutativa.

Passo 3

Precisamos comparar x*y = x,y +2x, e (x*y)*z = (x,y +2x),z +2,(x,y +2x) = x,y,z +2x,z +2x,y +4x .
  1. Calcular y*z = y,z +2y, :
x*(y*z) = x,(y,z+2y) +2x = x,y,z +2x,y +2x
então
(x*y)*z = x,y,z +2x,z +2x,y +4x, x*(y*z) = x,y,z +2x,y +2x
  1. Calcular :
logo
Comparando:
Tem uns termos a mais no primeiro (tipo ), então não é associativa.

Passo 4

Procuramos x*e = x e e*x = x tal que, para todo x,e +2x = x Longrightarrow x(e+2) = x :
x * (-1) = x(-1) +2x = -x +2x = x
  1. De (-1)*x = (-1)x +2(-1) = -x -2 neq x :
Se , isso força , ou seja .
De fato, para todo ,
Então é neutro à direita.
  1. Mas tem de verificar :
(ex.: se , dá ).
Isso mostra que não existe um único que cumpra as duas condições ao mesmo tempo.

Resposta

A operação em
  • não é comutativa;
  • não é associativa;
  • não tem elemento neutro dois-lados (só existe neutro à direita, que é , mas não há neutro à esquerda).

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