Resolva o sistema linear abaixo usando o método de eliminação de Gauss:
Repita o item (a) para o sistema obtido permutando as equações.
Analise seus resultados.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra usar o método de eliminação de Gauss em dois sistemas: primeiro o sistema original
2x1 + 5x2 = -3 3x1 + x2 = 2
e depois o mesmo sistema com as equações trocadas de lugar.
Conteúdo: Álgebra linear básica (sistemas lineares) e técnica de eliminação de Gauss.
Vamos precisar montar a matriz ampliada, fazer operações de linha (soma múltipla de linhas) para zerar variáveis, e depois voltar (substituição) pra achar e .

Passo 2

Resolvendo o sistema original com Gauss:
  1. Matriz ampliada inicial:
2 & 5 & |! & -3 3 & 1 & |! & 2
  1. Escolhemos o pivô na primeira linha (valor 2). Queremos zerar o 2 & 5 & |! & -3 0 & -tfrac132 & |! & tfrac132 da segunda linha:
    -tfrac132,x2 = tfrac132 Longrightarrow x2 = -1
    • Elemento (2,1): 2x1 + 5(-1) = -3 Longrightarrow 2x1 - 5 = -3 Longrightarrow 2x1 = 2 Longrightarrow x1 = 1
    • Elemento (2,2):
    • Lado direito:
      Fica:
  2. Agora a segunda linha dá direto :
  3. Substituindo em :

Passo 3

Agora trocando a ordem das equações:
3x1 + x2 = 2 2x1 + 5x2 = -3
  1. Matriz ampliada:
3 & 1 & |! & 2 2 & 5 & |! & -3
  1. Zerar 3 & 1 & |! & 2 0 & tfrac133 & |! & -tfrac133 da segunda linha usando pivô tfrac133,x2 = -tfrac133 Longrightarrow x2 = -1 na linha 1:
    3x1 + (-1) = 2 Longrightarrow 3x1 = 3 Longrightarrow x1 = 1
    • (2,1):
    • (2,2):
    • Lado direito:
      Fica:
  2. Da segunda linha:
  3. Na primeira:

Passo 4

Análise: mesmo trocando a ordem, chegamos à mesma solução . Isso reflete o fato de que permutar linhas (equações) é uma operação elementar que não muda o conjunto de soluções do sistema.

Resposta

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