As perguntas são:
(i) verificar se o critério das linhas (diagonal dominante por linhas) é satisfeito;
(ii) resolver o sistema usando o método de Gauss–Jacobi;
(iii) resolver o sistema usando o método de Gauss–Seidel (se for possível).
Conclusão: o critério das linhas (dominância diagonal estrita por linhas) é satisfeito para todas as linhas. Isso garante que tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergirão a partir de qualquer chute inicial (por exemplo x^{(0)}=0).]
Passo 3
Breve explicação didática do método de Gauss–Jacobi e formulação para este sistema.
Ideia do método (explicando cada símbolo):
Para um sistema Ax=b com componentes a_{ij}, x=(x_1,\dots,x_n)^T, b=(b_1,\dots,b_n)^T, a iteração de Jacobi atualiza cada componente por
Observação didática: os termos centrais x_2,x_3 são maiores que os extremos x_1,x_4 e os vetores estão se aproximando de uma solução onde x_1=x_4 e x_2=x_3. Como o critério de dominância é satisfeito, essa sequência converge. O ponto fixo da iteração (quando x^{(k+1)}=x^{(k)}=x^\star) satisfaz exatamente Ax^\star=b, portanto o limite da sequência é a solução do sistema linear.
Passo 5
Para dar a resposta exata (útil na prova e para conferir os iterativos): resolvemos o sistema linear diretamente (pode ser por eliminação gaussiana ou observando a estrutura). Faço a resolução rápida e direta para obter a solução exata.
Breve explicação do método de Gauss–Seidel e aplicação ao sistema (didática).
Ideia do Gauss–Seidel:
Para Ax=b atualizamos cada componente sequencialmente usando os valores mais recentes já computados na mesma iteração. A fórmula prática para o nosso sistema, atualizando na ordem 1,2,3,4, é:
Comparação intuitiva: Gauss–Seidel usa já os valores atualizados dentro da iteração, por isso costuma convergir mais rápido que Jacobi quando ambos convergem.]
Passo 7
Executando algumas iterações de Gauss–Seidel (com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T) para ver a rapidez de convergência:
Observação: o método de Gauss–Seidel aproxima-se do mesmo ponto fixo (a solução exata) mais rapidamente que Jacobi, como ilustrado pelos valores acima.
Passo 8
Resumo didático final sobre convergência e como usar na prova:
Como a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (ver Passo 2), você pode afirmar na prova que ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução do sistema a partir de qualquer chute inicial.
Para Gauss–Jacobi escreva as fórmulas de atualização (Passo 3) e, se pedirem iterações, execute a partir de x^{(0)}.
Para Gauss–Seidel escreva as fórmulas que usam valores atualizados (Passo 6) e itere; em geral Gauss–Seidel precisa de menos iterações para alcançar uma dada tolerância.
O ponto fixo comum às iterações é exatamente a solução de Ax=b, que encontramos explicitamente no Passo 5.
Resposta
(i) Sim. A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (cada |a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}|).
(ii) Gauss–Jacobi converge; solução do sistema x=\bigl(\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{4}{11}\bigr)^T.
(iii) Gauss–Seidel é possível e também converge; solução x=\bigl(\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{4}{11}\bigr)^T.