Em cada caso: (i) verifique se o critério das linhas é satisfeito; (ii) resolva por Gauss-Jacobi, (iii) resolva por Gauss-Seidel se possível:
A=\left(\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 0 \\\ -1 & 4 & -1 & 0 \\\ 0 & -1 & 4 & -1 \\\ 0 & 0 & -1 & 4\end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{l}1 \\\ 1 \\\ 1 \\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o sistema linear dado por
A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 4 & -1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 4 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
(i) verificar se o critério das linhas (diagonal dominante por linhas) é satisfeito;
(ii) resolver o sistema usando o método de Gauss–Jacobi;
(iii) resolver o sistema usando o método de Gauss–Seidel (se for possível).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\begin{aligned} \text{Equações do sistema:}\\\\ 4x_1 - x_2 &= 1,\\\\ - x_1 + 4x_2 - x_3 &= 1,\\\\ - x_2 + 4x_3 - x_4 &= 1,\\\\ - x_3 + 4x_4 &= 1. \end{aligned}çõ]

Passo 2

Verificação do critério das linhas (strict row diagonal dominance). Para cada linha i verificamos se
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Cálculos linha a linha (tudo em TeX):
\begin{aligned} \text{linha 1: }& |a_{11}|=4,\qquad \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|{-1}|+0+0=1,\quad 4>1\\ \text{(ok)}.\\[4pt] \text{linha 2: }& |a_{22}|=4,\qquad \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-1}|+0=2,\quad 4>2\\ \text{(ok)}.\\[4pt] \text{linha 3: }& |a_{33}|=4,\qquad \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=0+|{-1}|+|{-1}|=2,\quad 4>2\\ \text{(ok)}.\\[4pt] \text{linha 4: }& |a_{44}|=4,\qquad \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=0+0+|{-1}|=1,\quad 4>1\\ \text{(ok)}. \end{aligned}
Conclusão: o critério das linhas (dominância diagonal estrita por linhas) é satisfeito para todas as linhas. Isso garante que tanto o método de Gauss–Jacobi quanto o de Gauss–Seidel convergirão a partir de qualquer chute inicial (por exemplo x^{(0)}=0).]

Passo 3

Breve explicação didática do método de Gauss–Jacobi e formulação para este sistema.
Ideia do método (explicando cada símbolo):
Para um sistema Ax=b com componentes a_{ij}, x=(x_1,\dots,x_n)^T, b=(b_1,\dots,b_n)^T, a iteração de Jacobi atualiza cada componente por
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\right).
Aqui x_j^{(k)} são os valores da iteração anterior (não usamos valores atualizados na mesma iteração). O índice k é o número da iteração.
Aplicando isso ao nosso sistema obtemos as fórmulas explícitas:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_2^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_1^{(k)} + x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_2^{(k)} + x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_3^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Escolhemos como chute inicial simples x^{(0)}=(0,0,0,0)^T (comum em provas).]

Passo 4

Executando algumas iterações de Gauss–Jacobi (para ver o processo e a convergência). Cálculos manuais e numéricos simples:
Iteração k=0\to1:
x^{(1)}=\left(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14\right).
Iteração k=1\to2:
x^{(2)}=\left(\tfrac{5}{16},\tfrac{3}{8},\tfrac{3}{8},\tfrac{5}{16}\right) \approx (0{,}3125,\;0{,}375,\;0{,}375,\;0{,}3125).
Iteração k=2\to3:
x^{(3)}\approx(0{,}34375,\;0{,}421875,\;0{,}421875,\;0{,}34375).
Iteração k=3\to4:
x^{(4)}\approx(0{,}35546875,\;0{,}44140625,\;0{,}44140625,\;0{,}35546875).
Iteração k=4\to5:
x^{(5)}\approx(0{,}36035156,\;0{,}44921875,\;0{,}44921875,\;0{,}36035156).
Observação didática: os termos centrais x_2,x_3 são maiores que os extremos x_1,x_4 e os vetores estão se aproximando de uma solução onde x_1=x_4 e x_2=x_3. Como o critério de dominância é satisfeito, essa sequência converge. O ponto fixo da iteração (quando x^{(k+1)}=x^{(k)}=x^\star) satisfaz exatamente Ax^\star=b, portanto o limite da sequência é a solução do sistema linear.

Passo 5

Para dar a resposta exata (útil na prova e para conferir os iterativos): resolvemos o sistema linear diretamente (pode ser por eliminação gaussiana ou observando a estrutura). Faço a resolução rápida e direta para obter a solução exata.
Das equações:
\begin{aligned} 4x_1 - x_2 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_2=4x_1-1,\\[4pt] - x_1 + 4x_2 - x_3 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 15x_1 -5 \\ \text{(substituindo }x_2),\\[4pt] - x_2 + 4x_3 - x_4 &=1 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 56x_1 -20 \\ \text{(substituindo }x_2,x_3),\\[4pt] - x_3 + 4x_4 &=1 \quad\Rightarrow\quad \text{substituindo }x_3,x_4\\ \text{obtemos}\\\\ - (15x_1-5) + 4(56x_1-20) &= 1. \end{aligned}
Continuando:
-15x_1+5 +224x_1 -80 =1 \quad\Rightarrow\quad 209x_1 -75 =1 \quad\Rightarrow\quad 209x_1 = 76.
Como 209=11\cdot19 e 76=4\cdot19, obtém-se
x_1=\frac{76}{209}=\frac{4}{11}.
Substituindo nas expressões anteriores:
x_2=4x_1-1=\frac{5}{11},\qquad x_3=\frac{5}{11},\qquad x_4=\frac{4}{11}.
Portanto a solução exata é
x=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{11}\\[4pt]\tfrac{5}{11}\\[4pt]\tfrac{5}{11}\\[4pt]\tfrac{4}{11}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}0{,}36363636\\[4pt]0{,}45454545\\[4pt]0{,}45454545\\[4pt]0{,}36363636\end{pmatrix}.]

Passo 6

Breve explicação do método de Gauss–Seidel e aplicação ao sistema (didática).
Ideia do Gauss–Seidel:
Para Ax=b atualizamos cada componente sequencialmente usando os valores mais recentes já computados na mesma iteração. A fórmula prática para o nosso sistema, atualizando na ordem 1,2,3,4, é:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_2^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_1^{(k+1)} + x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_2^{(k+1)} + x_4^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(1 + x_3^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Comparação intuitiva: Gauss–Seidel usa já os valores atualizados dentro da iteração, por isso costuma convergir mais rápido que Jacobi quando ambos convergem.]

Passo 7

Executando algumas iterações de Gauss–Seidel (com x^{(0)}=(0,0,0,0)^T) para ver a rapidez de convergência:
Iteração k=0\to1:
x^{(1)}\approx(0{,}25,\;0{,}3125,\;0{,}328125,\;0{,}33203125).
Iteração k=1\to2:
x^{(2)}\approx(0{,}328125,\;0{,}4140625,\;0{,}4365234375,\;0{,}359130859375).
Iteração k=2\to3:
x^{(3)}\approx(0{,}353515625,\;0{,}447509765625,\;0{,}45166015625,\;0{,}3629150390625).
Iteração k=3\to4:
x^{(4)}\approx(0{,}36187744,\;0{,}45338440,\;0{,}45407486,\;0{,}36351871).
Iteração k=4\to5:
x^{(5)}\approx(0{,}36334610,\;0{,}45435524,\;0{,}45446849,\;0{,}36361712).
Observação: o método de Gauss–Seidel aproxima-se do mesmo ponto fixo (a solução exata) mais rapidamente que Jacobi, como ilustrado pelos valores acima.

Passo 8

Resumo didático final sobre convergência e como usar na prova:
  • Como a matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (ver Passo 2), você pode afirmar na prova que ambos os métodos (Jacobi e Gauss–Seidel) convergem para a solução do sistema a partir de qualquer chute inicial.
  • Para Gauss–Jacobi escreva as fórmulas de atualização (Passo 3) e, se pedirem iterações, execute a partir de x^{(0)}.
  • Para Gauss–Seidel escreva as fórmulas que usam valores atualizados (Passo 6) e itere; em geral Gauss–Seidel precisa de menos iterações para alcançar uma dada tolerância.
  • O ponto fixo comum às iterações é exatamente a solução de Ax=b, que encontramos explicitamente no Passo 5.

Resposta

(i) Sim. A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (cada |a_{ii}|> \sum_{j\ne i}|a_{ij}|).
(ii) Gauss–Jacobi converge; solução do sistema x=\bigl(\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{4}{11}\bigr)^T.
(iii) Gauss–Seidel é possível e também converge; solução x=\bigl(\tfrac{4}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{5}{11},\tfrac{4}{11}\bigr)^T.

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