Considere o sistema:
para
tem-se
. Obtenha a solução do sistema usando o método de Euler explícito para
com passo de tempo
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais:
com condições iniciais em
:
Pede-se obter a solução aproximada do sistema no instante
usando o método de Euler explícito com passo de tempo
.\n
Informações relevantes: duas equações acopladas (a segunda depende de e
), passo
, precisamos avançar de
até
(isto é, 2 passos:
e
).
Informações relevantes: duas equações acopladas (a segunda depende de
Passo 2
Explicação do método de Euler explícito (aula rápida e prática).
O método de Euler explícito aproxima a solução de uma EDO usando retas tangentes locais. Para uma EDO escalar com
e passo
, a regra é
O método de Euler explícito aproxima a solução de uma EDO usando retas tangentes locais. Para uma EDO escalar
Aqui temos um sistema com duas incógnitas
e
. Aplicamos a fórmula componente a componente: se denotarmos
no tempo
, então
onde, a partir do sistema dado,
Importante: no Euler explícito usamos apenas os valores em
(não precisamos resolver sistemas implícitos). Agora aplicamos isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro passo: ir de
para
.
Valores iniciais:
Valores iniciais:
Calculamos as derivadas (os
) em
usando
:
Calcule passo a passo:
e
. Então
Agora aplicamos a fórmula de Euler com
:
Portanto, no tempo
obtemos
Passo 4
Segundo passo: ir de
para
.
Usamos os valores (coloquei vírgula decimal conforme solicitado).
Calculamos as derivadas em :
Usamos os valores
Calculamos as derivadas em
Calcule passo a passo:
e
. Então
Aplicamos Euler novamente:
Assim, no tempo
obtivemos a aproximação