Considere o sistema:
\frac{d \varphi_{1}}{d t}=-0,5 \varphi_{1}, \quad \frac{d \varphi_{2}}{d t}=4-0,3 \varphi_{2}-0,1 \varphi_{1},
para t=0 tem-se \varphi_{1}=4, \varphi_{2}=6. Obtenha a solução do sistema usando o método de Euler explícito para t=1 com passo de tempo \Delta t=0,5.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais e as condições iniciais:
\frac{d \varphi_{1}}{d t}=-0,5\,\varphi_{1},\qquad \frac{d \varphi_{2}}{d t}=4-0,3\,\varphi_{2}-0,1\,\varphi_{1},
com condições iniciais em t=0:
\varphi_{1}(0)=4,\qquad \varphi_{2}(0)=6.
Pede-se obter a solução aproximada do sistema no instante t=1 usando o método de Euler explícito com passo de tempo \Delta t=0,5.\n
Informações relevantes: duas equações acopladas (a segunda depende de \varphi_{1} e \varphi_{2}), passo \Delta t=0,5, precisamos avançar de t=0 até t=1 (isto é, 2 passos: t=0\to0,5 e t=0,5\to1).

Passo 2

Explicação do método de Euler explícito (aula rápida e prática).
O método de Euler explícito aproxima a solução de uma EDO usando retas tangentes locais. Para uma EDO escalar y'=f(t,y) com y(t_n)=y^n e passo \Delta t, a regra é
y^{n+1}=y^{n}+\Delta t\;f(t_n,y^{n}).
Aqui temos um sistema com duas incógnitas \varphi_{1} e \varphi_{2}. Aplicamos a fórmula componente a componente: se denotarmos \varphi^{n}=(\varphi_{1}^n,\varphi_{2}^n) no tempo t_n, então
\varphi_{1}^{n+1}=\varphi_{1}^{n}+\Delta t\;f_{1}(\varphi_{1}^{n},\varphi_{2}^{n}), \qquad \varphi_{2}^{n+1}=\varphi_{2}^{n}+\Delta t\;f_{2}(\varphi_{1}^{n},\varphi_{2}^{n}),
onde, a partir do sistema dado,
f_{1}(\varphi_{1},\varphi_{2})=-0,5\,\varphi_{1},\qquad f_{2}(\varphi_{1},\varphi_{2})=4-0,3\,\varphi_{2}-0,1\,\varphi_{1}.
Importante: no Euler explícito usamos apenas os valores em t_n (não precisamos resolver sistemas implícitos). Agora aplicamos isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro passo: ir de t_0=0 para t_1=0,5.
Valores iniciais:
\varphi_{1}^0=\varphi_{1}(0)=4,\qquad \varphi_{2}^0=\varphi_{2}(0)=6.
Calculamos as derivadas (os f) em t_0 usando \varphi^0:
f_{1}(\varphi^0)=-0,5\cdot\varphi_{1}^0=-0,5\cdot 4=-2.
f_{2}(\varphi^0)=4-0,3\cdot\varphi_{2}^0-0,1\cdot\varphi_{1}^0 =4-0,3\cdot 6-0,1\cdot 4.
Calcule passo a passo: 0,3\cdot 6=1,8 e 0,1\cdot 4=0,4. Então
f_{2}(\varphi^0)=4-1,8-0,4=1,8.
Agora aplicamos a fórmula de Euler com \Delta t=0,5:
\varphi_{1}^{1}=\varphi_{1}^{0}+\Delta t\;f_{1}(\varphi^0)=4+0,5\cdot(-2)=4-1=3.
\varphi_{2}^{1}=\varphi_{2}^{0}+\Delta t\;f_{2}(\varphi^0)=6+0,5\cdot 1,8=6+0,9=6,9.
Portanto, no tempo t_1=0,5 obtemos
\varphi_{1}(0,5)\approx\varphi_{1}^{1}=3,\qquad \varphi_{2}(0,5)\approx\varphi_{2}^{1}=6,9.

Passo 4

Segundo passo: ir de t_1=0,5 para t_2=1.
Usamos os valores \varphi^{1}=(3,\,6,9) (coloquei vírgula decimal conforme solicitado).
Calculamos as derivadas em t_1:
f_{1}(\varphi^{1})=-0,5\cdot\varphi_{1}^{1}=-0,5\cdot 3=-1,5.
f_{2}(\varphi^{1})=4-0,3\cdot\varphi_{2}^{1}-0,1\cdot\varphi_{1}^{1} =4-0,3\cdot 6,9-0,1\cdot 3.
Calcule passo a passo: 0,3\cdot 6,9=2,07 e 0,1\cdot 3=0,3. Então
f_{2}(\varphi^{1})=4-2,07-0,3=1,63.
Aplicamos Euler novamente:
\varphi_{1}^{2}=\varphi_{1}^{1}+\Delta t\;f_{1}(\varphi^{1})=3+0,5\cdot(-1,5)=3-0,75=2,25.
\varphi_{2}^{2}=\varphi_{2}^{1}+\Delta t\;f_{2}(\varphi^{1})=6,9+0,5\cdot 1,63=6,9+0,815=7,715.
Assim, no tempo t_2=1 obtivemos a aproximação
\varphi_{1}(1)\approx\varphi_{1}^{2}=2,25,\qquad \varphi_{2}(1)\approx\varphi_{2}^{2}=7,715.

Resposta

\varphi_{1}(1)\approx 2,25\n
\varphi_{2}(1)\approx 7,715

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