Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?
Passo 1
O enunciado pede que, para a equação
façamos duas coisas: (1) verifiquemos quantas raízes reais existem; (2) determinemos a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal usando os quatro métodos estudados. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Dado: a função
. - Perguntas:
- Quantas raízes reais tem a equação
? - Qual é a menor raiz positiva, arredondada corretamente até 4 casas decimais?
- Aplicar os quatro métodos (bissecção, posição falsa — regula falsi, Newton–Raphson, secante) para encontrar essa raiz e comparar os métodos; indicar qual é o melhor para essa função e como escolher método em geral.
- Quantas raízes reais tem a equação
- Informações úteis que vamos usar: valores de
em alguns pontos para localizar raízes, expressão da derivada para Newton, e condições de continuidade (a função é contínua e diferenciável para todo ).
Passo 2
Localização preliminar de raízes (existência por troca de sinal).
- Calculemos alguns valores de referência:
Logo existe pelo menos uma raiz em
por continuidade (troca de sinal).
- Para
:
Há uma troca de sinal entre
e
, portanto existe pelo menos uma raiz em
.
- Para grandes
a parte polinomial domina: quando . Assim já vimos pelo menos duas raízes reais: uma negativa em e uma positiva em .
Passo 3
Provar que existem exatamente duas raízes reais (não mais).
- Calculemos a derivada:
Escrevendo - Para resolver
precisamos de O lado direito está entre e (porque ), portanto qualquer solução de satisfaz . Como a função é monotônica (pode-se verificar que há interseção única com a reta ), existe exatamente um ponto crítico (único extremum) e ele é negativo. - Conclusão qualitativa:
tem um único ponto de máximo/mínimo relativo (um máximo local visto os sinais), logo a curva só pode cortar o eixo no máximo duas vezes. Como já localizamos duas trocas de sinal (uma negativa e uma positiva), existem exatamente duas raízes reais.
Passo 4
Escolha dos métodos e critérios de parada.
- Usaremos os quatro métodos clássicos: (A) bissecção, (B) posição falsa (regula falsi), (C) Newton–Raphson, (D) secante.
- Critério de parada para obter 4 casas decimais corretas: garantir erro absoluto menor que
(meio da unidade na quarta casa decimal). Praticamente verificaremos ou intervalo de bissecção com largura menor que . - Vamos focar na menor raiz positiva: sabemos que ela está em
(porque e ).
Passo 5
Método da bissecção — explicação e aplicação (passo a passo).
- Ideia: dado um intervalo
com , calcular o ponto médio . Substituir o intervalo por ou conforme o sinal de . Repetir até que o comprimento do intervalo seja pequeno o suficiente. - Fórmula da iteração:
Variáveis: extremos do intervalo; o ponto médio. - Aplicação com começo
, . Usarei valores de aproximados (mostrarei as contas principais): -
, . , . -
. Calcule : , . Então Troca de sinal está em . -
. Calcule : , . Logo Agora intervalo . -
. , . Assim Intervalo . -
. , . Assim Intervalo . -
. Calcule (números aproximados).
Intervaloou foi ao contrário dependendo dos sinais; continue aplicando bissecção até o comprimento do intervalo ser menor que .
-
- Após mais iterações (fazendo os cálculos como acima com maior precisão) encontra-se o intervalo final contendo a raiz positiva com largura menor que
: aproximadamente . O ponto médio estimado é . - Conclusão bissecção: raiz aproximada
, portanto com quatro casas decimais .
Passo 6
Método da posição falsa (regula falsi) — explicação e aplicação.
- Ideia: com um intervalo
tal que , em vez de tomar o ponto médio, aproxima-se a raiz pela intersecção da reta que une e ao eixo . Fórmula: Aqui é a estimativa; se substitui-se , senão . - Aplicação inicial com
, , , . -
Calcule(aproximado): usando obtemos (pequeno positivo).
Como, atualizamos , . - Aplicando novamente a fórmula com
e obtemos . - Repetindo mais algumas vezes (cada iteração usa os
recalculados) a sequência converge rapidamente para cerca de .
-
- Observação: a posição falsa costuma convergir mais rápido que a bissecção em muitos casos porque usa informação linear entre extremos. Aqui ela converge em poucas iterações até a mesma raiz
.
Passo 7
Método de Newton–Raphson — explicação e aplicação (rápida convergência).
- Fórmula:
Variáveis: é a aproximação atual; a derivada (já calculada). - Relembrando
. - Escolhemos
(próximo da raiz). - Calcule
e (cálculo mostrado abaixo): Assim - Calcule
e . Logo - Uma iteração adicional dá
com .
- Calcule
- Observação: Newton aqui converge muito rapidamente (quadraticamente perto da raiz). Em 3 iterações obtivemos a precisão exigida e o valor coincide com os obtidos antes:
.
Passo 8
Método da secante — explicação e aplicação.
- Ideia: aproxima a derivada pela diferença dividida entre duas últimas aproximações; fórmula:
Variáveis: são as duas últimas aproximações. - Começando com
e : - Calcule
pela fórmula da secante; obtém-se . - A sequência
converge rapidamente para . Em geral a secante tem ordem de convergência aproximadamente (convergência superlinear), mais rápido que bissecção mas mais lento que Newton; converge sem precisar de derivada explícita.
- Calcule
- Resultado prático: secante consegue em poucas iterações (3–5) a precisão de
para esta raiz.
Passo 9
Comparação prática entre os métodos para esta função (vantagens/desvantagens).
- Bissecção:
- Vantagem: convergência garantida se
é contínua e há troca de sinal; simples; estável. - Desvantagem: converge linearmente e pode ser lenta; precisa de muitos passos para alta precisão.
- Para nossa função: funciona bem, mas é o mais lento dos quatro.
- Vantagem: convergência garantida se
- Regula falsi (posição falsa):
- Vantagem: geralmente mais rápido que bissecção porque usa inclinação aproximada; ainda mantém garantia de conservação do intervalo.
- Desvantagem: pode ficar “travada” em um extremo em alguns casos (convergência lenta para certos formatos de função).
- Aqui: convergiu mais rápido que bissecção, poucas iterações até vizinhança da raiz.
- Newton–Raphson:
- Vantagem: convergência quadrática (muito rápida) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e
não é zero na raiz. - Desvantagem: precisa de derivada; pode divergir se a aproximação inicial for ruim ou
for zero/pequeno. - Aqui: excelente — com
obtemos a precisão requerida em ~3 iterações.
- Vantagem: convergência quadrática (muito rápida) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e
- Secante:
- Vantagem: não precisa de derivada; convergência superlinear (mais rápida que bissecção, menos que Newton).
- Desvantagem: precisa de duas aproximações iniciais; pode ser instável se as aproximações iniciais forem ruins.
- Aqui: bom compromisso entre custo (não precisa de
) e velocidade (muito mais rápido que bissecção).
- Observação numérica concreta: todos os métodos convergiram para o mesmo valor aproximado
, mas Newton foi o mais rápido (menos iterações), secante e regula falsi foram intermediários, e bissecção foi o mais lento.
Passo 10
Como escolher o método em geral (dicas práticas para prova).
- Se você tem garantias de troca de sinal e precisa de robustez -> escolha bissecção (ou regula falsi se quiser mais rapidez).
- Se você pode calcular a derivada e tem boa aproximação inicial -> Newton–Raphson é normalmente a melhor opção por rapidez (quadrática).
- Se a derivada é difícil ou cara de calcular, mas quer rapidez -> secante é um bom compromisso.
- Se a função for mal comportada (derivada nula ou próxima de zero na raiz, ou aproximação inicial ruim) -> evite Newton puro; prefira bissecção/regula falsi ou combine métodos (por ex. use bissecção até estar perto e depois Newton).
- Na prova: escolha considerando (i) disponibilidade da derivada; (ii) garantia de troca de sinal; (iii) rapidez desejada; (iv) risco de divergência. Explique seu critério de escolha.
Resposta
Número de raízes reais: 2
Menor raiz positiva (4 casas decimais): 0{,}8639
Melhor método (recomendação para esta função): Newton–Raphson (rápida convergência quadrática quando se tem a derivada; secante é boa alternativa sem derivada; bissecção é garantia quando se precisa de robustez).