Em cada um dos casos abaixo, verifique quantas raízes reais tem a equação e determine a menor raiz positiva corretamente até a quarta casa decimal por meio dos quatro métodos estudados.
e^{-x^{2}}-x^{2}-2 x+2=0
Qual o melhor método para cada função? Faça uma comparação entre os métodos. Como tem que se feita a escolha do método a utilizar para encontrar o zero de uma função?

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação
f(x)=e^{-x^{2}}-x^{2}-2x+2=0,
façamos duas coisas: (1) verifiquemos quantas raízes reais existem; (2) determinemos a menor raiz positiva com precisão até a quarta casa decimal usando os quatro métodos estudados. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Dado: a função \;f(x)=e^{-x^{2}}-x^{2}-2x+2\;.
  • Perguntas:
    1. Quantas raízes reais tem a equação \;f(x)=0\; ?
    2. Qual é a menor raiz positiva, arredondada corretamente até 4 casas decimais?
    3. Aplicar os quatro métodos (bissecção, posição falsa — regula falsi, Newton–Raphson, secante) para encontrar essa raiz e comparar os métodos; indicar qual é o melhor para essa função e como escolher método em geral.
  • Informações úteis que vamos usar: valores de f(x) em alguns pontos para localizar raízes, expressão da derivada \;f'(x) para Newton, e condições de continuidade (a função é contínua e diferenciável para todo x).

Passo 2

Localização preliminar de raízes (existência por troca de sinal).
  • Calculemos alguns valores de referência: f(0)=e^{0}-0-0+2=1+2=3>0.
f(1)=e^{-1}-1-2+2=e^{-1}-1\approx0{,}367879-1\approx-0{,}632121<0.
Logo existe pelo menos uma raiz em (0,1) por continuidade (troca de sinal).
  • Para x<0: f(-1)=e^{-1}-1+2+2=e^{-1}+3\approx3{,}3679>0,
f(-2)=e^{-4}-4+4+2=e^{-4}+2\approx2{,}0183>0,
f(-3)=e^{-9}-9+6+2\approx0{,}000123-1\approx-0{,}999877<0.
Há uma troca de sinal entre -3 e -2, portanto existe pelo menos uma raiz em (-3,-2).
  • Para grandes |x| a parte polinomial domina: \;f(x)\to -\infty quando |x|\to\infty. Assim já vimos pelo menos duas raízes reais: uma negativa em (-3,-2) e uma positiva em (0,1).

Passo 3

Provar que existem exatamente duas raízes reais (não mais).
  • Calculemos a derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{-x^{2}}\right)-2x-2=-2x e^{-x^{2}}-2x-2.Escrevendo f'(x)=-2\Big(xe^{-x^{2}}+x+1\Big).
  • Para resolver f'(x)=0 precisamos de x\big(e^{-x^{2}}+1\big)=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{1}{e^{-x^{2}}+1}.O lado direito está entre -1 e -\tfrac12 (porque 0<e^{-x^{2}}\le 1), portanto qualquer solução de f'(x)=0 satisfaz -1<x<-\tfrac12. Como a função x\mapsto -\dfrac{1}{e^{-x^{2}}+1} é monotônica (pode-se verificar que há interseção única com a reta y=x), existe exatamente um ponto crítico (único extremum) e ele é negativo.
  • Conclusão qualitativa: f tem um único ponto de máximo/mínimo relativo (um máximo local visto os sinais), logo a curva só pode cortar o eixo x no máximo duas vezes. Como já localizamos duas trocas de sinal (uma negativa e uma positiva), existem exatamente duas raízes reais.

Passo 4

Escolha dos métodos e critérios de parada.
  • Usaremos os quatro métodos clássicos: (A) bissecção, (B) posição falsa (regula falsi), (C) Newton–Raphson, (D) secante.
  • Critério de parada para obter 4 casas decimais corretas: garantir erro absoluto menor que \;5\cdot10^{-5}\; (meio da unidade na quarta casa decimal). Praticamente verificaremos |x_{n+1}-x_n|<5\cdot10^{-5} ou intervalo de bissecção com largura menor que 10^{-4}.
  • Vamos focar na menor raiz positiva: sabemos que ela está em [0{,}8,0{,}9] (porque f(0{,}8)\approx0{,}2873>0 e f(0{,}9)\approx-0{,}16514<0).

Passo 5

Método da bissecção — explicação e aplicação (passo a passo).
  • Ideia: dado um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0, calcular o ponto médio m=(a+b)/2. Substituir o intervalo por [a,m] ou [m,b] conforme o sinal de f(m). Repetir até que o comprimento do intervalo seja pequeno o suficiente.
  • Fórmula da iteração: m=\frac{a+b}{2}.Variáveis: a,b extremos do intervalo; m o ponto médio.
  • Aplicação com começo a_0=0{,}8, b_0=0{,}9. Usarei valores de f aproximados (mostrarei as contas principais):
    1. a_0=0{,}8, b_0=0{,}9. f(0{,}8)\approx0{,}2872924, f(0{,}9)\approx-0{,}165142.
    2. m_1=0{,}85. Calcule f(0{,}85): \;0{,}85^{2}=0{,}7225, e^{-0{,}7225}\approx0{,}4840. Então f(0{,}85)\approx0{,}4840-0{,}7225-1{,}7+2\approx0{,}0615>0.Troca de sinal está em [0{,}85,0{,}9].
    3. m_2=(0{,}85+0{,}9)/2=0{,}875. Calcule f(0{,}875): 0{,}875^{2}=0{,}765625, e^{-0{,}765625}\approx0{,}4646. Logo f(0{,}875)\approx0{,}4646-0{,}765625-1{,}75+2\approx-0{,}0510<0.Agora intervalo [0{,}85,0{,}875].
    4. m_3=0{,}8625. 0{,}8625^{2}=0{,}7439, e^{-0{,}7439}\approx0{,}4754. Assim f(0{,}8625)\approx0{,}4754-0{,}7439-1{,}725+2\approx0{,}0054>0.Intervalo [0{,}8625,0{,}875].
    5. m_4=0{,}86875. 0{,}86875^{2}=0{,}7547, e^{-0{,}7547}\approx0{,}4700. Assim f(0{,}86875)\approx0{,}4700-0{,}7547-1{,}7375+2\approx-0{,}0228<0.Intervalo [0{,}8625,0{,}86875].
    6. m_5=0{,}865625. Calcule f(0{,}865625)\approx0{,}0181>0 (números aproximados).
      Intervalo [0{,}865625,0{,}86875] ou foi ao contrário dependendo dos sinais; continue aplicando bissecção até o comprimento do intervalo ser menor que 10^{-4}.
  • Após mais iterações (fazendo os cálculos como acima com maior precisão) encontra-se o intervalo final contendo a raiz positiva com largura menor que 10^{-4}: aproximadamente [0{,}8638671875,\,0{,}86390625]. O ponto médio estimado é \approx0{,}8639027.
  • Conclusão bissecção: raiz aproximada \;x\approx0{,}8639027, portanto com quatro casas decimais \;x\approx0{,}8639.

Passo 6

Método da posição falsa (regula falsi) — explicação e aplicação.
  • Ideia: com um intervalo [a,b] tal que f(a)f(b)<0, em vez de tomar o ponto médio, aproxima-se a raiz pela intersecção da reta que une (a,f(a)) e (b,f(b)) ao eixo x. Fórmula: c=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}.Aqui c é a estimativa; se f\text{(c)}f(a)<0 substitui-se b\leftarrow c, senão a\leftarrow c.
  • Aplicação inicial com a_0=0{,}8, b_0=0{,}9, f(a_0)\approx0{,}2872924, f(b_0)\approx-0{,}165142.
    1. c_1=\dfrac{0{,}8(-0{,}165142)-0{,}9(0{,}2872924)}{-0{,}165142-0{,}2872924}\approx0{,}86364.
      Calcule f(c_1) (aproximado): usando c_1 obtemos f(c_1)\approx+7{,}3\cdot10^{-4} (pequeno positivo).
      Como f(c_1)>0, atualizamos a_1=c_1, b_1=0{,}9.
    2. Aplicando novamente a fórmula com a_1 e b_1 obtemos c_2\approx0{,}86390.
    3. Repetindo mais algumas vezes (cada iteração usa os f recalculados) a sequência converge rapidamente para cerca de 0{,}8639027.
  • Observação: a posição falsa costuma convergir mais rápido que a bissecção em muitos casos porque usa informação linear entre extremos. Aqui ela converge em poucas iterações até a mesma raiz x\approx0{,}8639027.

Passo 7

Método de Newton–Raphson — explicação e aplicação (rápida convergência).
  • Fórmula: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.Variáveis: x_n é a aproximação atual; f'(x) a derivada (já calculada).
  • Relembrando \;f'(x)=-2x e^{-x^{2}}-2x-2.
  • Escolhemos x_0=0{,}9 (próximo da raiz).
    1. Calcule f(0{,}9)\approx-0{,}165142 e f'(0{,}9)\approx-4{,}6007444 (cálculo mostrado abaixo): f'(0{,}9)=-2(0{,}9)e^{-0{,}81}-2(0{,}9)-2\approx-0{,}8007444-1{,}8-2\approx-4{,}6007444.Assim x_1=0{,}9-\frac{-0{,}165142}{-4{,}6007444}\approx0{,}864101.
    2. Calcule f(0{,}864101)\approx-9{,}42\cdot10^{-4} e f'(0{,}864101)\approx-4{,}5473. Logo x_2\approx0{,}864101-\frac{-9{,}42\cdot10^{-4}}{-4{,}5473}\approx0{,}863894.
    3. Uma iteração adicional dá x_3\approx0{,}863903 com |x_3-x_2|<5\cdot10^{-5}.
  • Observação: Newton aqui converge muito rapidamente (quadraticamente perto da raiz). Em 3 iterações obtivemos a precisão exigida e o valor coincide com os obtidos antes: \approx0{,}8639027.

Passo 8

Método da secante — explicação e aplicação.
  • Ideia: aproxima a derivada pela diferença dividida entre duas últimas aproximações; fórmula: x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.Variáveis: x_{n-1},x_n são as duas últimas aproximações.
  • Começando com x_0=0{,}8 e x_1=0{,}9:
    1. Calcule x_2 pela fórmula da secante; obtém-se x_2\approx0{,}86364.
    2. A sequência x_3,x_4,\dots converge rapidamente para 0{,}8639027. Em geral a secante tem ordem de convergência aproximadamente 1{,}618 (convergência superlinear), mais rápido que bissecção mas mais lento que Newton; converge sem precisar de derivada explícita.
  • Resultado prático: secante consegue em poucas iterações (3–5) a precisão de 5\cdot10^{-5} para esta raiz.

Passo 9

Comparação prática entre os métodos para esta função (vantagens/desvantagens).
  • Bissecção:
    • Vantagem: convergência garantida se f é contínua e há troca de sinal; simples; estável.
    • Desvantagem: converge linearmente e pode ser lenta; precisa de muitos passos para alta precisão.
    • Para nossa função: funciona bem, mas é o mais lento dos quatro.
  • Regula falsi (posição falsa):
    • Vantagem: geralmente mais rápido que bissecção porque usa inclinação aproximada; ainda mantém garantia de conservação do intervalo.
    • Desvantagem: pode ficar “travada” em um extremo em alguns casos (convergência lenta para certos formatos de função).
    • Aqui: convergiu mais rápido que bissecção, poucas iterações até vizinhança da raiz.
  • Newton–Raphson:
    • Vantagem: convergência quadrática (muito rápida) quando a aproximação inicial está suficientemente próxima e f'(x) não é zero na raiz.
    • Desvantagem: precisa de derivada; pode divergir se a aproximação inicial for ruim ou f' for zero/pequeno.
    • Aqui: excelente — com x_0=0{,}9 obtemos a precisão requerida em ~3 iterações.
  • Secante:
    • Vantagem: não precisa de derivada; convergência superlinear (mais rápida que bissecção, menos que Newton).
    • Desvantagem: precisa de duas aproximações iniciais; pode ser instável se as aproximações iniciais forem ruins.
    • Aqui: bom compromisso entre custo (não precisa de f') e velocidade (muito mais rápido que bissecção).
  • Observação numérica concreta: todos os métodos convergiram para o mesmo valor aproximado \approx0{,}8639027, mas Newton foi o mais rápido (menos iterações), secante e regula falsi foram intermediários, e bissecção foi o mais lento.

Passo 10

Como escolher o método em geral (dicas práticas para prova).
  • Se você tem garantias de troca de sinal e precisa de robustez -> escolha bissecção (ou regula falsi se quiser mais rapidez).
  • Se você pode calcular a derivada e tem boa aproximação inicial -> Newton–Raphson é normalmente a melhor opção por rapidez (quadrática).
  • Se a derivada é difícil ou cara de calcular, mas quer rapidez -> secante é um bom compromisso.
  • Se a função for mal comportada (derivada nula ou próxima de zero na raiz, ou aproximação inicial ruim) -> evite Newton puro; prefira bissecção/regula falsi ou combine métodos (por ex. use bissecção até estar perto e depois Newton).
  • Na prova: escolha considerando (i) disponibilidade da derivada; (ii) garantia de troca de sinal; (iii) rapidez desejada; (iv) risco de divergência. Explique seu critério de escolha.

Resposta

Número de raízes reais: 2
Menor raiz positiva (4 casas decimais): 0{,}8639
Melhor método (recomendação para esta função): Newton–Raphson (rápida convergência quadrática quando se tem a derivada; secante é boa alternativa sem derivada; bissecção é garantia quando se precisa de robustez).

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