Dizemos que uma função f possui um zero \alpha de multiplicidade m \in \mathbb{N} ( m \geq 1) quando existe uma função g tal que f(x)=(x-\alpha)^{m} g(x), com g(\alpha) \neq 0.
Qual das seguintes funções possui um zero de multiplicidade maior que 1?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. x^{4}+5 x^{3}+9 x^{2}+8 x+4
\bigcirc b. x^{4}+8 x^{3}+23 x^{2}+28 x+12
\bigcirc c. x^{4}+5 x^{3}+9 x^{2}+8 x+4
\bigcirc d. x^{4}+6 x^{3}+13 x^{2}+12 x+4
\bigcirc e. x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2}+5 x+2

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das funções (polinômios) listadas possui um zero de multiplicidade maior que 1 (ou seja, um raiz repetida). As opções dadas são:
\text{(a)}\; f_{a}(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+8x+4
\text{(b)}\; f_{b}(x)=x^{4}+8x^{3}+23x^{2}+28x+12
\text{\text{(c)}}\; f_{c}(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+8x+4 (observe que é idêntico à opção \text{(a)})
\text{(d)}\; f_{d}(x)=x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4
\text{(e)}\; f_{e}(x)=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+5x+2
Informações relevantes dadas: cada item é um polinômio de grau 4. A pergunta é sobre existência de raiz com multiplicidade m\ge 2.

Passo 2

Conceito útil e critério prático (mini-aula): se \alpha é zero de multiplicidade m\ge 2 de um polinômio f, então f(\alpha)=0 e f'(\alpha)=0. Aqui f' é a derivada de f. Para polinômios a derivada é obtida aplicando a regra potência termo a termo:
\text{se } f(x)=\sum a_k x^k,\quad\text{então } f'(x)=\sum k a_k x^{k-1}.ã
Portanto, um modo prático de testar multiplicidade pelo menos 2 é: encontrar uma raiz \alpha de f (por exemplo via teste de raízes racionais ou fatoração) e verificar se f'(\alpha)=0. Outra forma é fatorar f explicitamente como produto de fatores e ver se algum fator linear/quadrático aparece com expoente \ge 2.
Vou usar ambos os métodos: fatoração quando for fácil, e o teste f(\alpha)=0 e f'(\alpha)=0 quando encontrarmos uma raiz racional.

Passo 3

Analisando a opção \text{(a)}: f_{a}(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+8x+4.
Tento fatorar em dois quadráticos com coeficientes inteiros, buscando fatores do termo constante 4. Experimento a forma
(x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+4),
pois 1\cdot 4=4. Expandindo:
(x^{2}+ax+1)(x^{2}+bx+4)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+5)x^{2}+(4a+b)x+4.
Comparando coeficientes com f_{a} obtemos o sistema
a+b=5,\qquad ab+5=9\Rightarrow ab=4,\qquad 4a+b=8.
Das duas primeiras equações temos a,b como raízes de t^{2}-5t+4=0, cujas soluções são t=1 e t=4. Testando combinações, se a=1 e b=4 então 4a+b=4\cdot1+4=8, o que satisfaz. Logo
f_{a}(x)=(x^{2}+x+1)(x^{2}+4x+4).
Agora note que
x^{2}+4x+4=(x+2)^{2},
portanto
f_{a}(x)=(x^{2}+x+1)(x+2)^{2}.
Conclusão: f_{a} tem a raiz x=-2 com multiplicidade 2. Assim a opção \text{(a)} possui um zero de multiplicidade maior que 1.

Passo 4

Analisando a opção \text{(b)}: f_{b}(x)=x^{4}+8x^{3}+23x^{2}+28x+12.
Procuro raízes racionais; pelo teorema do resto, divisores do termo constante 12 são candidatos. Experimento x=-1:
f_{b}(-1)=(-1)^{4}+8(-1)^{3}+23(-1)^{2}+28(-1)+12=1-8+23-28+12=0.
Então x=-1 é raiz. Calculo a derivada:
f_{b}'(x)=4x^{3}+24x^{2}+46x+28.
Avalio em x=-1:
f_{b}'(-1)=-4+24-46+28=2\neq 0.
Como f_{b}(-1)=0 mas f_{b}'(-1)\neq 0, a raiz x=-1 é simples (multiplicidade 1). Não há indicação imediata de outra raiz repetida; portanto f_{b} não tem zero de multiplicidade >1.

Passo 5

Observação sobre a opção \text{\text{(c)}}: f_{c}(x)=x^{4}+5x^{3}+9x^{2}+8x+4 é idêntico a f_{a} (foi dado duas vezes). Consequentemente a análise do Passo 3 vale para f_{c}: ela também possui x=-2 com multiplicidade 2.

Passo 6

Analisando a opção \text{(d)}: f_{d}(x)=x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4.
Tento fatorar em quadráticos. Experimento a forma (x^{2}+ax+2)(x^{2}+bx+2) porque 2\cdot 2=4. Expandindo:
(x^{2}+ax+2)(x^{2}+bx+2)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+4)x^{2}+2(a+b)x+4.
Comparando com f_{d} obtemos
a+b=6,\qquad ab+4=13\Rightarrow ab=9,\qquad 2(a+b)=12 \\ (\text{coincide com }a+b=6).
Das equações a+b=6 e ab=9 obtemos a e b sendo raízes de t^{2}-6t+9=0, ou seja t=3 (dupla). Assim a=b=3 e
f_{d}(x)=(x^{2}+3x+2)^{2}.
Agora note que x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2), então
f_{d}(x)=(x+1)^{2}(x+2)^{2}.
Conclusão: f_{d} tem as raízes x=-1 e x=-2, cada uma com multiplicidade 2. Portanto f_{d} também possui zeros de multiplicidade maior que 1.

Passo 7

Analisando a opção \text{(e)}: f_{e}(x)=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+5x+2.
Testo x=-1:
f_{e}(-1)=1-4+6-5+2=0,
logo x=-1 é raiz. Derivada:
f_{e}'(x)=4x^{3}+12x^{2}+12x+5.
Avalio em -1:
f_{e}'(-1)=-4+12-12+5=1\neq 0.
Então x=-1 é raiz simples (multiplicidade 1). Não há indicação de raiz repetida em f_{e}.

Passo 8

Síntese e checagem final: das cinco opções, f_{a} (e portanto f_{c}, idêntico a f_{a}) e f_{d} têm fator quadrático repetido e, consequentemente, possuem zeros com multiplicidade maior que 1. As opções f_{b} e f_{e} têm raízes racionais encontradas, mas todas simples, pois suas derivadas nestes pontos não anulam.

Resposta

a
d

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