Dizemos que uma função
possui um zero
de multiplicidade
(
quando existe uma função
tal que
, com
.
Qual das seguintes funções possui um zero de multiplicidade maior que 1?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Qual das seguintes funções possui um zero de multiplicidade maior que 1?
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das funções (polinômios) listadas possui um zero de multiplicidade maior que 1 (ou seja, um raiz repetida). As opções dadas são:
Informações relevantes dadas: cada item é um polinômio de grau
. A pergunta é sobre existência de raiz com multiplicidade
.
Passo 2
Conceito útil e critério prático (mini-aula): se
é zero de multiplicidade
de um polinômio
, então
e
. Aqui
é a derivada de
. Para polinômios a derivada é obtida aplicando a regra potência termo a termo:
Portanto, um modo prático de testar multiplicidade pelo menos 2 é: encontrar uma raiz
de
(por exemplo via teste de raízes racionais ou fatoração) e verificar se
. Outra forma é fatorar
explicitamente como produto de fatores e ver se algum fator linear/quadrático aparece com expoente
.
Vou usar ambos os métodos: fatoração quando for fácil, e o teste
e
quando encontrarmos uma raiz racional.
Passo 3
Analisando a opção
:
.
Tento fatorar em dois quadráticos com coeficientes inteiros, buscando fatores do termo constante
. Experimento a forma
pois
. Expandindo:
Comparando coeficientes com
obtemos o sistema
Das duas primeiras equações temos
como raízes de
, cujas soluções são
e
. Testando combinações, se
e
então
, o que satisfaz. Logo
Agora note que
portanto
Conclusão:
tem a raiz
com multiplicidade
. Assim a opção
possui um zero de multiplicidade maior que
.
Passo 4
Analisando a opção
:
.
Procuro raízes racionais; pelo teorema do resto, divisores do termo constante
são candidatos. Experimento
:
Então
é raiz. Calculo a derivada:
Avalio em
:
Como
mas
, a raiz
é simples (multiplicidade
). Não há indicação imediata de outra raiz repetida; portanto
não tem zero de multiplicidade
.
Passo 5
Observação sobre a opção
:
é idêntico a
(foi dado duas vezes). Consequentemente a análise do Passo 3 vale para
: ela também possui
com multiplicidade
.
Passo 6
Analisando a opção
:
.
Tento fatorar em quadráticos. Experimento a forma
porque
. Expandindo:
Comparando com
obtemos
Das equações
e
obtemos
e
sendo raízes de
, ou seja
(dupla). Assim
e
Agora note que
, então
Conclusão:
tem as raízes
e
, cada uma com multiplicidade
. Portanto
também possui zeros de multiplicidade maior que
.
Passo 7
Analisando a opção
:
.
Testo
:
logo
é raiz. Derivada:
Avalio em
:
Então
é raiz simples (multiplicidade
). Não há indicação de raiz repetida em
.
Passo 8
Síntese e checagem final: das cinco opções,
(e portanto
, idêntico a
) e
têm fator quadrático repetido e, consequentemente, possuem zeros com multiplicidade maior que
. As opções
e
têm raízes racionais encontradas, mas todas simples, pois suas derivadas nestes pontos não anulam.
Resposta
a
d
d