Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de
. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
:
- Encontrar a iteração prescrita pelo método de Newton para resolver
quando
- Escolher um ponto qualquer e efetuar um passo dessa iteração.
Informações relevantes fornecidas:
-
. - A função
está definida apenas para , então as iterações devem permanecer em . - O número constante dado é
.
Passo 2
Lembra do que é o método de Newton (de forma prática): a cada iteração a gente substitui a função por sua aproximação linear (a reta tangente) no ponto atual e usa a raiz dessa reta como próxima aproximação da raiz de
. A fórmula geral do método de Newton é
Aqui,
é a aproximação atual,
é o valor da função nela e
é a derivada no mesmo ponto. O quociente
é a correção (quanto subtrair de
).
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
e a derivada da constante
é
. Logo,
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de Newton com essa
e
. Substituindo,
Simplificando o quociente, multiplicamos numerador e denominador por
:
Fatorando
,
Essa é a iteração prescrita pelo método de Newton para esta
. (Uma forma alternativa equivalente é deixar sem fatorar:
)
Passo 5
Escolho um ponto simples e válido:
(está no domínio
e facilita contas porque
). Calculamos:
Aplicando a fórmula de Newton:
Também checando com a forma fatorada:
Passo 6
Resumo prático para a prova: calcule
(aqui
), escreva a fórmula
, simplifique antes de calcular para evitar erros aritméticos, escolha
porque
exige isso, e faça as contas com cuidado (atenção às casas decimais). Um passo já costuma aproximar bem quando a escolha de
é razoável.