Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de f(x)=0. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(d)
f(x)=\ln (x)-0,1243

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f:
  1. Encontrar a iteração prescrita pelo método de Newton para resolver f(x)=0 quando
f(x)=\ln(x)-0,1243.
  1. Escolher um ponto qualquer e efetuar um passo dessa iteração.
Informações relevantes fornecidas:
  • f(x)=\ln(x)-0,1243.
  • A função \ln(x) está definida apenas para x>0, então as iterações devem permanecer em x>0.
  • O número constante dado é 0,1243.

Passo 2

Lembra do que é o método de Newton (de forma prática): a cada iteração a gente substitui a função por sua aproximação linear (a reta tangente) no ponto atual e usa a raiz dessa reta como próxima aproximação da raiz de f. A fórmula geral do método de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui, x_n é a aproximação atual, f(x_n) é o valor da função nela e f'(x_n) é a derivada no mesmo ponto. O quociente \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} é a correção (quanto subtrair de x_n).

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f. A derivada de \ln(x) é 1/x e a derivada da constante -0,1243 é 0. Logo,
f'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de Newton com essa f e f'. Substituindo,
x_{n+1}=x_n-\frac{\ln(x_n)-0,1243}{1/x_n}.
Simplificando o quociente, multiplicamos numerador e denominador por x_n:
x_{n+1}=x_n - x_n\bigl(\ln(x_n)-0,1243\bigr).
Fatorando x_n,
x_{n+1}=x_n\Bigl(1-\ln(x_n)+0,1243\Bigr).
Essa é a iteração prescrita pelo método de Newton para esta f. (Uma forma alternativa equivalente é deixar sem fatorar:
x_{n+1}=x_n-\frac{\ln(x_n)-0,1243}{1/x_n}.
)

Passo 5

Escolho um ponto simples e válido: x_0=1 (está no domínio x>0 e facilita contas porque \ln(1)=0). Calculamos:
f(1)=\ln(1)-0,1243=0-0,1243=-0,1243,
f'(1)=\frac{1}{1}=1.
Aplicando a fórmula de Newton:
x_1=1-\frac{-0,1243}{1}=1+0,1243=1,1243.
Também checando com a forma fatorada:
x_1=1\bigl(1-\ln(1)+0,1243\bigr)=1(1-0+0,1243)=1,1243.

Passo 6

Resumo prático para a prova: calcule f'(x) (aqui 1/x), escreva a fórmula x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}, simplifique antes de calcular para evitar erros aritméticos, escolha x_0>0 porque \ln(x) exige isso, e faça as contas com cuidado (atenção às casas decimais). Um passo já costuma aproximar bem quando a escolha de x_0 é razoável.

Resposta

x_{n+1}=x_n-\frac{\ln(x_n)-0,1243}{1/x_n}=x_n\bigl(1-\ln(x_n)+0,1243\bigr)
\text{Com }x_0=1\text{, um passo dá }x_1=1,1243á

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