Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de f(x)=0. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(c)
f(x)=x^{3}-a \quad \text { para o passo use } a=2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a iteração prescrita pelo método pedido para resolver f(x)=0 quando \,f(x)=x^{3}-a, e (2) escolher um ponto qualquer e fazer um passo desse método com a=2.
Informações dadas: a função é f(x)=x^{3}-a e, para o passo numérico, devemos usar a=2. Não há mais informações fornecidas.

Passo 2

Vou lembrar qual é a fórmula do método que o enunciado pediu (a fórmula é usada diretamente sem justificativa formal nesta linha, veremos a ideia na próxima): a iteração do método é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui x_{n} é a aproximação atual da raiz, x_{n+1} é a próxima aproximação, f(x_{n}) é o valor da função na aproximação atual e f'(x_{n}) é a derivada da função na aproximação atual. Intuitivamente, o método usa a reta tangente em x_n para aproximar onde essa reta corta o eixo x; esse corte é x_{n+1}.

Passo 3

Para aplicar a fórmula precisamos da derivada de f(x)=x^{3}-a. Usamos a regra do “potência” para derivar x^{3} e que a derivada de constante é zero. Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(a\bigr)=3x^{2}-0=3x^{2}.
Explicando devagar: a regra diz que \frac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Aplicando com n=3 3x^{2}.

Passo 4

Substituímos f(x) e f'(x) na fórmula da iteração:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{3}-a}{3x_{n}^{2}}.
Agora simplificamos esse quociente para obter uma forma mais prática. Divide-se termo a termo:
\frac{x_{n}^{3}-a}{3x_{n}^{2}}=\frac{x_{n}^{3}}{3x_{n}^{2}}-\frac{a}{3x_{n}^{2}}=\frac{1}{3}x_{n}-\frac{a}{3x_{n}^{2}}.
Portanto
x_{n+1}=x_{n}-\left(\frac{1}{3}x_{n}-\frac{a}{3x_{n}^{2}}\right).

Passo 5

Continuando a simplificação obtemos a forma final da iteração, que é conveniente para calcular na prova:
x_{n+1}=\frac{2}{3}x_{n}+\frac{a}{3x_{n}^{2}}.
Essa expressão é equivalente à definição original, mas já está rearranjada para calcular direto a nova aproximação a partir de x_n e do parâmetro a.

Passo 6

Agora escolho um ponto inicial qualquer para fazer um passo numérico (o enunciado permitia qualquer escolha). Vou escolher x_{0}=1 porque simplifica as contas; e usamos a=2 conforme pedido. Primeiro calculo usando a forma direta:
f(x_{0})=x_{0}^{3}-a=1^{3}-2=-1,
f'(x_{0})=3x_{0}^{2}=3\cdot 1^{2}=3.
Aplicando a fórmula direta de Newton:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=1-\frac{-1}{3}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Confirmação usando a forma simplificada (deveríamos obter o mesmo resultado):
x_{1}=\frac{2}{3}x_{0}+\frac{a}{3x_{0}^{2}}=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{2}{3\cdot 1^{2}}=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Em decimal, \frac{4}{3}\approx 1,333\ldots. Pronto: um passo do método partindo de x_{0}=1 com a=2 x_{1}=\frac{4}{3}.

Resposta

\text{Iteração: }x_{n+1}=\frac{2}{3}x_{n}+\frac{a}{3x_{n}^{2}}.çã
\text{Com }a=2\text{ e }x_{0}=1:\;x_{1}=\frac{4}{3}.

Exercícios relacionados