Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de
. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a iteração prescrita pelo método pedido para resolver
quando
, e (2) escolher um ponto qualquer e fazer um passo desse método com
.
Informações dadas: a função é e, para o passo numérico, devemos usar
. Não há mais informações fornecidas.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vou lembrar qual é a fórmula do método que o enunciado pediu (a fórmula é usada diretamente sem justificativa formal nesta linha, veremos a ideia na próxima): a iteração do método é dada por
Aqui
é a aproximação atual da raiz,
é a próxima aproximação,
é o valor da função na aproximação atual e
é a derivada da função na aproximação atual. Intuitivamente, o método usa a reta tangente em
para aproximar onde essa reta corta o eixo
; esse corte é
.
Passo 3
Para aplicar a fórmula precisamos da derivada de
. Usamos a regra do “potência” para derivar
e que a derivada de constante é zero. Assim,
Explicando devagar: a regra diz que
. Aplicando com
dá
.
Passo 4
Substituímos
e
na fórmula da iteração:
Agora simplificamos esse quociente para obter uma forma mais prática. Divide-se termo a termo:
Portanto
Passo 5
Continuando a simplificação obtemos a forma final da iteração, que é conveniente para calcular na prova:
Essa expressão é equivalente à definição original, mas já está rearranjada para calcular direto a nova aproximação a partir de
e do parâmetro
.
Passo 6
Agora escolho um ponto inicial qualquer para fazer um passo numérico (o enunciado permitia qualquer escolha). Vou escolher
porque simplifica as contas; e usamos
conforme pedido. Primeiro calculo usando a forma direta:
Aplicando a fórmula direta de Newton:
Passo 7
Confirmação usando a forma simplificada (deveríamos obter o mesmo resultado):
Em decimal,
. Pronto: um passo do método partindo de
com
dá
.