Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de f(x)=0. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(b)
f(x)=\operatorname{sen}(x)-0,8

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) achar a iteração prescrita pelo método de Newton para resolver \,f(x)=0 quando
f(x)=\operatorname{sen}(x)-0,8,
e (2) escolher um ponto qualquer e fazer um passo dessa iteração. As informações dadas são apenas a expressão de f(x). Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar rapidamente a fórmula do método de Newton (para você aplicar na prova sem esquecer): se queremos resolver \,f(x)=0 e f é diferenciável, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui, x_n é a aproximação atual e x_{n+1} é a próxima aproximação obtida subtraindo o quociente do valor da função pelo seu derivado no ponto x_n. A ideia é aproximar f por sua reta tangente em x_n e tomar a interseção dessa reta com o eixo x.

Passo 3

Precisamos do derivado de f(x). Como f(x)=\operatorname{sen}(x)-0,8, usamos que a derivada da função seno é o cosseno. Então
f'(x)=\cos(x).
Aqui estou explicando: a derivada mede a inclinação da curva; a derivada de \operatorname{sen}(x) em qualquer ponto x é \cos(x), e a constante -0,8 desaparece ao derivar.

Passo 4

Substituindo f(x) e f'(x) na fórmula de Newton obtemos a iteração desejada:
x_{n+1}=x_n-\frac{\operatorname{sen}(x_n)-0,8}{\cos(x_n)}.
Podemos reescrever esse quociente de forma alternativa, usando \tan e \operatorname{sec} (caso você preferir):
\frac{\operatorname{sen}(x_n)-0,8}{\cos(x_n)}=\tan(x_n)-0,8\operatorname{sec}(x_n),
logo uma forma equivalente é
x_{n+1}=x_n-\tan(x_n)+0,8\operatorname{sec}(x_n).
Obs.: é preciso garantir \cos(x_n)\neq0 para aplicar a fórmula; se \cos(x_n)=0 a iteração não está definida (e isso ocorre em pontos ruins para Newton).

Passo 5

Comentário prático: as soluções de \operatorname{sen}(x)=0,8 existem e são infinitas (uma em cada período), mas para a prova você normalmente escolhe um ponto inicial próximo da raiz que quer encontrar. Vou escolher um ponto simples: x_0=1 (radiano). Isso é “um ponto qualquer” como o enunciado pediu e fica perto da raiz principal \arcsin(0,8)\approx0,9273.

Passo 6

Agora faço o passo numérico de Newton a partir de x_0=1. Vou calcular passo a passo:
Calcule f(x_0):
\operatorname{sen}(1)\approx 0,8414709848,
portanto
f(1)=\operatorname{sen}(1)-0,8\approx 0,0414709848.
Calcule f'(x_0):
\cos(1)\approx 0,5403023059.
Forme o quociente:
\frac{f(1)}{f'(1)}=\frac{0,0414709848}{0,5403023059}\approx 0,0767\\ (\text{arredondado}).
Atualize para obter x_1:
x_1=1-\frac{f(1)}{f'(1)}\approx 1-0,0767\approx 0,9233.
Ou seja, após um passo de Newton a partir de x_0=1 obtemos aproximadamente x_1\approx 0,9233. Note que isso já está bem próximo da raiz \arcsin(0,8)\approx 0,9273; em mais um ou dois passos normalmente a convergência é rápida.

Resposta

\text{Iteração de Newton: }x_{n+1}=x_n-\frac{\operatorname{sen}(x_n)-0,8}{\cos(x_n)}.çã
\text{Um passo a partir de }x_0=1:\;x_1\approx 0,9233.

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