Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de
. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) achar a iteração prescrita pelo método de Newton para resolver
quando
e (2) escolher um ponto qualquer e fazer um passo dessa iteração. As informações dadas são apenas a expressão de
. Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar rapidamente a fórmula do método de Newton (para você aplicar na prova sem esquecer): se queremos resolver
e
é diferenciável, a iteração de Newton é
Aqui,
é a aproximação atual e
é a próxima aproximação obtida subtraindo o quociente do valor da função pelo seu derivado no ponto
. A ideia é aproximar
por sua reta tangente em
e tomar a interseção dessa reta com o eixo
.
Passo 3
Precisamos do derivado de
. Como
, usamos que a derivada da função seno é o cosseno. Então
Aqui estou explicando: a derivada mede a inclinação da curva; a derivada de
em qualquer ponto
é
, e a constante
desaparece ao derivar.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula de Newton obtemos a iteração desejada:
Podemos reescrever esse quociente de forma alternativa, usando
e
(caso você preferir):
logo uma forma equivalente é
Obs.: é preciso garantir
para aplicar a fórmula; se
a iteração não está definida (e isso ocorre em pontos ruins para Newton).
Passo 5
Comentário prático: as soluções de
existem e são infinitas (uma em cada período), mas para a prova você normalmente escolhe um ponto inicial próximo da raiz que quer encontrar. Vou escolher um ponto simples:
(radiano). Isso é “um ponto qualquer” como o enunciado pediu e fica perto da raiz principal
.
Passo 6
Agora faço o passo numérico de Newton a partir de
. Vou calcular passo a passo:
Calcule
:
portanto
Calcule
:
Forme o quociente:
Atualize para obter
:
Ou seja, após um passo de Newton a partir de
obtemos aproximadamente
. Note que isso já está bem próximo da raiz
; em mais um ou dois passos normalmente a convergência é rápida.