Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de
. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Encontrar a iteração usada pelo método pedido para resolver
. - Escolher um ponto qualquer (um valor inicial) e executar um passo dessa iteração (calcular o próximo
).
Informações fornecidas:
Não foi dado um ponto inicial, então eu escolherei um ponto qualquer depois de deduzir a fórmula da iteração.
Passo 2
Explicação didática do método usado (o passo teórico necessário): quando queremos aproximar a raiz de uma função
a partir de um valor atual
, podemos aproximar
por sua reta tangente em
. Essa reta tangente é a aproximação linear de
perto de
dada por
Para estimar a raiz (o
tal que
), substituímos
nessa aproximação linear e resolvemos para
. Fazendo isso obtemos a fórmula de iteração
Aqui
é a derivada de
avaliada em
. A ideia: usamos a interseção da tangente em
com o eixo
como novo ponto
.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Para a função exponencial, a derivada é a própria exponencial, ou seja:
Explicando: a derivada
mede a inclinação da reta tangente em
. No caso de
, a inclinação em qualquer ponto
é exatamente
.
Passo 4
Substituir
e
na fórmula de iteração e simplificar passo a passo.
Começamos com
Agora dividimos o numerador por
:
Substituindo de volta:
Portanto a iteração prescrita é
Observação rápida: essa forma às vezes é mais conveniente para calcular numericamente porque envolve
em vez de dividir por
.
Passo 5
Escolher um ponto inicial qualquer e fazer um passo. Eu escolho
(é um ponto simples e legítimo). Usando a forma simplificada da iteração:
Substituindo
:
Passo 6
Calcular o valor numérico aproximado para ver como fica na prática. Usando
,
Comparação rápida (checagem): a raiz exata de
é
. Nosso
já está bem próximo, o que indica que a iteração fez um bom avanço.
Resposta
Com