Para cada uma das equações abaixo encontre qual é a iteração prescrita pelo método de Newton para a solução de f(x)=0. Depois escolha um ponto qualquer e faça um passo desse método.
(a)
f(x)=e^{x}-3

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  1. Encontrar a iteração usada pelo método pedido para resolver f(x)=0.
  2. Escolher um ponto qualquer (um valor inicial) e executar um passo dessa iteração (calcular o próximo x).
Informações fornecidas:
f(x)=e^{x}-3.
Não foi dado um ponto inicial, então eu escolherei um ponto qualquer depois de deduzir a fórmula da iteração.

Passo 2

Explicação didática do método usado (o passo teórico necessário): quando queremos aproximar a raiz de uma função f a partir de um valor atual x_n, podemos aproximar f por sua reta tangente em x_n. Essa reta tangente é a aproximação linear de f perto de x_n dada por
f(x)\approx f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n).
Para estimar a raiz (o x tal que f(x)=0), substituímos f(x)=0 nessa aproximação linear e resolvemos para x. Fazendo isso obtemos a fórmula de iteração
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui f'(x_n) é a derivada de f avaliada em x_n. A ideia: usamos a interseção da tangente em x_n com o eixo x como novo ponto x_{n+1}.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Para a função exponencial, a derivada é a própria exponencial, ou seja:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Explicando: a derivada f'(x) mede a inclinação da reta tangente em x. No caso de e^{x}, a inclinação em qualquer ponto x é exatamente e^{x}.

Passo 4

Substituir f e f' na fórmula de iteração e simplificar passo a passo.
Começamos com
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}=x_n-\frac{e^{x_n}-3}{e^{x_n}}.
Agora dividimos o numerador por e^{x_n}:
\frac{e^{x_n}-3}{e^{x_n}}=\frac{e^{x_n}}{e^{x_n}}-\frac{3}{e^{x_n}}=1-3e^{-x_n}.
Substituindo de volta:
x_{n+1}=x_n-\bigl(1-3e^{-x_n}\bigr)=x_n-1+3e^{-x_n}.
Portanto a iteração prescrita é
x_{n+1}=x_n-1+3e^{-x_n}.
Observação rápida: essa forma às vezes é mais conveniente para calcular numericamente porque envolve e^{-x_n} em vez de dividir por e^{x_n}.

Passo 5

Escolher um ponto inicial qualquer e fazer um passo. Eu escolho x_0=1 (é um ponto simples e legítimo). Usando a forma simplificada da iteração:
x_{1}=x_0-1+3e^{-x_0}.
Substituindo x_0=1:
x_{1}=1-1+3e^{-1}=3e^{-1}=\frac{3}{e}.

Passo 6

Calcular o valor numérico aproximado para ver como fica na prática. Usando e\approx 2,718281828,
x_{1}=\frac{3}{e}\approx\frac{3}{2,718281828}\approx 1,103638323.
Comparação rápida (checagem): a raiz exata de e^{x}-3=0 é \ln 3\approx 1,098612289. Nosso x_1 já está bem próximo, o que indica que a iteração fez um bom avanço.

Resposta

x_{n+1}=x_n-1+3e^{-x_n}.
Com x_0=1\Rightarrow x_1=\dfrac{3}{e}\approx 1,103638323.

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