Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, escolha dois pontos a e b iniciais e faça 3 passos do método da secante:
(b)
f(x)=\operatorname{sen}(x)-x+1

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva numericamente a equação f(x)=0 aplicando o método da secante a partir de dois pontos iniciais a e b escolhidos por mim, e que eu faça 3 passos do método. A função dada é
f(x)=\sin(x)-x+1.
Informações relevantes do enunciado:
\text{Função: } f(x)=\sin(x)-x+1.çã
\text{Tarefa: escolher } a \text{ e } b \text{ e realizar 3 passos (iterações) do método da secante.}çõé
Nada mais foi fornecido; a escolha de a e b é minha e eu devo realizar três iterações a partir desses pontos.

Passo 2

Escolho os pontos iniciais
a = 1,\qquad b = 2.
Agora calculo os valores da função nesses pontos (vou usar aproximações decimais usuais para \sin):
f(1)=\sin(1)-1+1=\sin(1)\approx 0,841470985.
f(2)=\sin(2)-2+1\approx 0,909297427-2+1=-0,090702573.
Comentário curto: não é obrigatório que f(a) e f(b) tenham sinais opostos para o método da secante (ao contrário do método da bissecção), mas aqui temos f(1)>0 e f(2)<0, o que indica um zero entre 1 e 2 — uma boa escolha inicial.

Passo 3

Explico o método da secante (passo-a-passo didático).
  • Ideia: aproximamos f por uma reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)). A interseção dessa reta com o eixo x é a nova aproximação x_{n+1}.
  • Equação da reta que passa por (x_{n-1},f_{n-1}) e (x_n,f_n):
y = f_n + \frac{f_n-f_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}(x-x_n).
  • Para achar a interseção com o eixo x fazemos y=0 e isolamos x. Assim obtemos a fórmula do método da secante:
x_{n+1}=x_n - f_n\frac{x_n-x_{n-1}}{f_n-f_{n-1}}.
Aqui x_{n-1},x_n são as duas últimas aproximações conhecidas e f_{n-1}=f(x_{n-1}),\,f_n=f(x_n). Essa fórmula é a que vou usar em cada iteração.

Passo 4

Primeira iteração (gera x_2) usando x_0=a=1 e x_1=b=2.
Aplicando a fórmula:
x_2 = x_1 - f(x_1)\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)}.
Substituindo os números (uso as aproximações do Passo 2):
x_2 = 2 - (-0,090702573)\cdot\frac{2-1}{-0,090702573-0,841470985}.
Calculo do denominador:
-0,090702573-0,841470985 = -0,932173558.
Calculo da fração:
\frac{-0,090702573}{-0,932173558} \approx 0,097343118.
Logo
x_2 = 2 - 0,097343118 \approx 1,902656882.

Passo 5

Calculo f(x_2) para usar na próxima iteração.
Queremos f(1,902656882)=\sin(1,902656882)-1,902656882+1.
Para \sin(1,902656882) uso uma aproximação por linearização em torno de 1,9 (técnica prática: se não tivermos uma calculadora, aproximamos usando valores conhecidos e derivada):
  • Valores conhecidos: \sin(1{,}9)\approx 0,946300088 e \cos(1{,}9)\approx -0,323289566.
  • Diferença \Delta x = 1{,}902656882-1{,}9 = 0{,}002656882.
  • Aproximação linear:
\sin(1{,}902656882)\approx \sin(1{,}9)+\cos(1{,}9)\cdot\Delta x \approx 0,946300088 + (-0,323289566)\cdot0,002656882.
Cálculo do termo:
(-0,323289566)\cdot0,002656882 \approx -0,000858303.
Logo
\sin(1,902656882)\approx 0,945441785.
Agora
f(1,902656882)\approx 0,945441785 -1,902656882 +1 = 0,042784903.

Passo 6

Segunda iteração (gera x_3) usando os dois últimos pontos x_1=2 e x_2=1,902656882.
Aplicando a fórmula:
x_3 = x_2 - f(x_2)\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)}.
Substituindo valores:
x_3 = 1,902656882 - 0,042784903\cdot\frac{1,902656882-2}{0,042784903-(-0,090702573)}.
Calculo das diferenças:
x_2-x_1 = -0,097343118,\qquad f(x_2)-f(x_1)=0,042784903+0,090702573=0,133487476.
Produto e divisão:
0,042784903\cdot(-0,097343118) \approx -0,004163996,
\frac{-0,004163996}{0,133487476}\approx -0,031195000.
Logo
x_3 = 1,902656882 - (-0,031195000) \approx 1,933851882.

Passo 7

Calculo f(x_3) para a terceira iteração. Vou aproximar usando linearização de f em torno de x_2:
  • Derivada f'(x)=\cos(x)-1.
  • Já aproximei \cos(1,902656882) no Passo 5 por
\cos(1,902656882)\approx \cos(1{,}9) - \sin(1{,}9)\cdot\Delta x \approx -0,323289566 - 0,946300088\cdot0,002656882\approx -0,325802565.
  • Então f'(1,902656882)\approx -0,325802565 -1 = -1,325802565.
  • Diferença \Delta x = x_3-x_2 \approx 1,933851882-1,902656882=0,031195000.
    Mudança aproximada em f:
\Delta f \approx f'(x_2)\Delta x \approx -1,325802565\cdot0,031195000 \approx -0,041336003.
Portanto
f(x_3)\approx f(x_2)+\Delta f \approx 0,042784903 - 0,041336003 \approx 0,001448900.

Passo 8

Terceira iteração (gera x_4) usando os dois últimos pontos x_2=1,902656882 e x_3=1,933851882.
Aplico a fórmula:
x_4 = x_3 - f(x_3)\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Substituindo:
x_4 = 1,933851882 - 0,001448900\cdot\frac{1,933851882-1,902656882}{0,001448900-0,042784903}.
Calculo das diferenças:
x_3-x_2 = 0,031195000,\qquad f(x_3)-f(x_2)=0,001448900-0,042784903=-0,041336003.
Produto e divisão:
0,001448900\cdot0,031195000 \approx 0,000045178,
\frac{0,000045178}{-0,041336003}\approx -0,001093200.
Logo
x_4 = 1,933851882 - (-0,001093200) \approx 1,934945082.

Resposta

x_2 \approx 1,902656882
x_3 \approx 1,933851882
x_4 \approx 1,934945082

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