Para resolver a equação
numericamente, escolha dois pontos
e
iniciais e faça 3 passos do método da secante:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva numericamente a equação
aplicando o método da secante a partir de dois pontos iniciais
e
escolhidos por mim, e que eu faça 3 passos do método. A função dada é
Informações relevantes do enunciado:
Nada mais foi fornecido; a escolha de
e
é minha e eu devo realizar três iterações a partir desses pontos.
Passo 2
Escolho os pontos iniciais
Agora calculo os valores da função nesses pontos (vou usar aproximações decimais usuais para
):
Comentário curto: não é obrigatório que
e
tenham sinais opostos para o método da secante (ao contrário do método da bissecção), mas aqui temos
e
, o que indica um zero entre
e
— uma boa escolha inicial.
Passo 3
Explico o método da secante (passo-a-passo didático).
- Ideia: aproximamos
por uma reta que passa pelos pontos e . A interseção dessa reta com o eixo é a nova aproximação . - Equação da reta que passa por
e :
- Para achar a interseção com o eixo
fazemos e isolamos . Assim obtemos a fórmula do método da secante:
Aqui
são as duas últimas aproximações conhecidas e
. Essa fórmula é a que vou usar em cada iteração.
Passo 4
Primeira iteração (gera
) usando
e
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Substituindo os números (uso as aproximações do Passo 2):
Calculo do denominador:
Calculo da fração:
Logo
Passo 5
Calculo
para usar na próxima iteração.
Queremos .
Para uso uma aproximação por linearização em torno de
(técnica prática: se não tivermos uma calculadora, aproximamos usando valores conhecidos e derivada):
Queremos
Para
- Valores conhecidos:
e . - Diferença
. - Aproximação linear:
Cálculo do termo:
Logo
Agora
Passo 6
Segunda iteração (gera
) usando os dois últimos pontos
e
.
Aplicando a fórmula:
Aplicando a fórmula:
Substituindo valores:
Calculo das diferenças:
Produto e divisão:
Logo
Passo 7
Calculo
para a terceira iteração. Vou aproximar usando linearização de
em torno de
:
- Derivada
. - Já aproximei
no Passo 5 por
- Então
. - Diferença
.
Mudança aproximada em:
Portanto
Passo 8
Terceira iteração (gera
) usando os dois últimos pontos
e
.
Aplico a fórmula:
Aplico a fórmula:
Substituindo:
Calculo das diferenças:
Produto e divisão:
Logo