Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
2 cos (x)=e^x / 2, x >= 0

Passo 1

O problema pede pra gente achar as raízes reais da equação
2cos(x)=e^x2, x>=0,
usando métodos numéricos (bissecção e Newton) com precisão .
Matéria: Métodos de localização de raízes.
O que precisamos:
  • Definir a função .
  • Aplicar o método da bissecção (que só precisa de mudança de sinal em um intervalo).
  • Aplicar o método de Newton (que precisa também de ).
  • Comparar quantas iterações cada um leva e ver que ambos convergem pro mesmo valor.

Passo 2

Método da Bissecção
  1. Definimos f(x)=2cos(x)-e^x2
  2. Buscamos um intervalo m=a+b2 com xbisecapprox0.904947.

    • Então .
  3. A cada iteração calculamos Se , então a raiz está em ; se , está em .
  4. Critério de parada: .
  5. Iterando algumas vezes:
    • 1ª iteração:
    • 2ª:
    • 3ª:
    • 4ª:

      Depois de cerca de 20 iterações a largura do intervalo fica menor que e encontramos

Passo 3

Método de Newton
  1. Além de f'(x)=-2sin(x)-e^x2, calculamos xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
  2. Escolhemos um chute inicial, por exemplo xNewtonapprox0.904947.
  3. Iteramos pela fórmula até .
  4. Algumas iterações:

    • Em apenas 3 iterações já chegamos em

Passo 4

Comparação
  • Ambos encontram a mesma raiz .
  • Bissecção precisou de ~20 iterações (é garantido, mas mais lento).
  • Newton convergiu em 3 iterações (rápido, mas precisa de e bom chute).

Resposta

A única raiz real em boxedxapprox0.904947 da equação com precisão é

Exercícios relacionados