Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O problema pede pra gente achar as raízes reais da equação
usando métodos numéricos (bissecção e Newton) com precisão
.
Matéria: Métodos de localização de raízes.
O que precisamos:
Matéria: Métodos de localização de raízes.
O que precisamos:
- Definir a função
. - Aplicar o método da bissecção (que só precisa de mudança de sinal em um intervalo).
- Aplicar o método de Newton (que precisa também de
). - Comparar quantas iterações cada um leva e ver que ambos convergem pro mesmo valor.
Passo 2
Método da Bissecção
- Definimos
- Buscamos um intervalo
com . -
-
Então.
-
- A cada iteração calculamos
Se , então a raiz está em ; se , está em . - Critério de parada:
. - Iterando algumas vezes:
- 1ª iteração:
- 2ª:
- 3ª:
- 4ª:
…
Depois de cerca de 20 iterações a largura do intervalo fica menor quee encontramos
- 1ª iteração:
Passo 3
Método de Newton
- Além de
, calculamos - Escolhemos um chute inicial, por exemplo
. - Iteramos pela fórmula
até . - Algumas iterações:
-
-
-
Em apenas 3 iterações já chegamos em
-
Passo 4
Comparação
- Ambos encontram a mesma raiz
. - Bissecção precisou de ~20 iterações (é garantido, mas mais lento).
- Newton convergiu em 3 iterações (rápido, mas precisa de
e bom chute).
Resposta
A única raiz real em
da equação
com precisão
é