Considere a seguinte tabela:
x 0 6 10 13 17
f(x) 6,67 17,33 42,67 37,33 30,10
n 0 1 2 3 4
Determine o polinômio de grau 4 que interpola os pontos utilizando a Forma de Lagrange.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem cinco pontos
(x₀,f₀)=(0,6,67), (x₁,f₁)=(6,17,33), (x₂,f₂)=(10,42,67), (x₃,f₃)=(13,37,33) e (x₄,f₄)=(17,30,10)
e pede o polinômio de grau 4 que passa por todos eles, usando a Forma de Lagrange.
O conteúdo aqui é Interpolação Polinomial pelo método de Lagrange:
– Você precisa saber a fórmula do polinômio de Lagrange e como montar os “Lᵢ(x)”.

Passo 2

A fórmula geral do polinômio de Lagrange de grau ≤4 é
P(x) ;=;sumi=0^4 fi,Li(x),
onde cada base Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^4x-xjxi - xj é
Em palavras: para cada ponto , você faz o produto de sobre todos os , e divide pelo mesmo produto avaliando em .

Passo 3

Vamos escrever cada L0(x)=(x-6)(x-10)(x-13)(x-17)13260 explicitamente. Denominadores calculados de antemão:
  1. Para L1(x)=(x-0)(x-10)(x-13)(x-17)-1848 ( L2(x)=(x-0)(x-6)(x-13)(x-17)840 ),
    denom = L3(x)=(x-0)(x-6)(x-10)(x-17)-1092 .
    L4(x)=(x-0)(x-6)(x-10)(x-13)5236
  2. Para ( ),
    denom = .
  3. Para ( ),
    denom = .
  4. Para ( ),
    denom = .
  5. Para ( ),
    denom = .

Passo 4

Agora monta o polinômio somando cada P(x)=6,67,L0(x) +17,33,L1(x) +42,67,L2(x) +37,33,L3(x) +30,10,L4(x) :
Isso já é o polinômio de grau 4 na Forma de Lagrange, pronto pra avaliar em qualquer .

Resposta

boxed P(x) =6,67,(x-6)(x-10)(x-13)(x-17)13260 +17,33,x,(x-10)(x-13)(x-17)-1848 +42,67,x,(x-6)(x-13)(x-17)840 +37,33,x,(x-6)(x-10)(x-17)-1092 +30,10,x,(x-6)(x-10)(x-13)5236

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