Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x ln (x)=1

Passo 1

O enunciado pede para achar a(s) raiz(es) reais da equação
x ln(x) = 1
com precisão , usando métodos numéricos (por exemplo, bissecção e Newton) e depois comparar os resultados.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (bissecção e Newton–Raphson).
Vamos precisar:
  • Definir .
  • Encontrar um intervalo em que muda de sinal (para bissecção).
  • Calcular a derivada (para Newton).

Passo 2

Definindo a função e seu domínio:
f(x) = xln(x) - 1, x>0
Primeiro vamos achar um intervalo tal que .
  • Em : .
  • Em : .
    Portanto, existe raiz em .

Passo 3

Método da Bissecção
  1. Escolhemos xbis approx 1.763223 , .
  2. Iteramos:
    • .
    • Se , substituímos ; senão, .
    • Paramos quando .
  3. Como a largura inicial é , precisamos de cerca de iterações.
  4. O valor aproximado que se obtém é

Passo 4

Método de Newton–Raphson
Fórmula de iteração:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), f'(x)=ln(x)+1
  1. Escolhemos chute inicial xnewtonapprox1.763223 .
  2. Calculamos até .
  3. Algumas iterações mostram convergência rápida:

    • Em cerca de 4 iterações já temos

Resposta

Tanto pelo método da bissecção quanto pelo método de Newton–Raphson a raiz real da equação boxedxapprox1.763223 é
Comparação:
  • Bissecção: ~20 iterações.
  • Newton: ~4 iterações (muito mais rápido, mas precisa da derivada).

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