Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para achar a(s) raiz(es) reais da equação
com precisão
, usando métodos numéricos (por exemplo, bissecção e Newton) e depois comparar os resultados.
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (bissecção e Newton–Raphson).
Vamos precisar:
Conteúdo: métodos numéricos de raiz (bissecção e Newton–Raphson).
Vamos precisar:
- Definir
. - Encontrar um intervalo em que
muda de sinal (para bissecção). - Calcular a derivada
(para Newton).
Passo 2
Definindo a função e seu domínio:
Primeiro vamos achar um intervalo
tal que
.
- Em
: . - Em
: .
Portanto, existe raiz em.
Passo 3
Método da Bissecção
- Escolhemos
, . - Iteramos:
-
. - Se
, substituímos ; senão, . - Paramos quando
.
-
- Como a largura inicial é
, precisamos de cerca de iterações. - O valor aproximado que se obtém é
Passo 4
Método de Newton–Raphson
Fórmula de iteração:
Fórmula de iteração:
- Escolhemos chute inicial
. - Calculamos até
. - Algumas iterações mostram convergência rápida:
-
-
-
-
Em cerca de 4 iterações já temos
-
Resposta
Tanto pelo método da bissecção quanto pelo método de Newton–Raphson a raiz real da equação
é
Comparação:
- Bissecção: ~20 iterações.
- Newton: ~4 iterações (muito mais rápido, mas precisa da derivada).