Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x^5=6

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem:
Enunciado: “Resolver a equação
x^5 = 6
buscando a raiz real com precisão e comparar os métodos estudados.”
Conteúdo: equações não lineares e métodos numéricos (bisseção e Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
  • Definir .
  • Escolher um intervalo onde muda de sinal (para bisseção).
  • Usar fórmula de iteração de bisseção e de Newton, parando quando o erro for menor que .

Passo 2

Método da Bisseção:
  1. Função: c = a+b2, .
  2. Achar um intervalo N >= log2b-avarepsilon approx log2110^-6approx20 com x approx 1.43096923828125 .
    • Testa : .
    • Testa : .
      Então a raiz está em .
  3. A cada iteração, calculamos o ponto médio
avaliamos e substituímos ou por conforme o sinal de .
4) Critério de parada: .
5) Número de iterações estimado:
Após ~20 iterações chega-se em

Passo 3

Método de Newton–Raphson:
  1. Temos xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) = xn - xn^5 - 65xn^4 e .
  2. Fórmula de iteração:
  1. Escolhemos um chute inicial razoável, tipo .
  2. Iteramos até .
    Exemplo de iterações:
  • com .

Passo 4

Comparação dos resultados:
  • Bisseção: ~20 iterações, raiz .
  • Newton–Raphson: ~4 iterações, raiz .
Newton converge muito mais rápido, mas precisa de derivada e um chute inicial bom. Bisseção é mais “chato” (muitas iterações) mas garante convergência se você achar um intervalo de ausência de descontinuidades.

Resposta

A raiz real de x approx 1.4309691 é
com precisão . Bisseção levou ~20 iterações; Newton–Raphson, ~4 iterações.

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