Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão . Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem:
Enunciado: “Resolver a equação
buscando a raiz real com precisão e comparar os métodos estudados.”
Conteúdo: equações não lineares e métodos numéricos (bisseção e Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
Definir .
Escolher um intervalo onde muda de sinal (para bisseção).
Usar fórmula de iteração de bisseção e de Newton, parando quando o erro for menor que .
Passo 2
Método da Bisseção:
Função: .
Achar um intervalo com .
Testa : .
Testa : .
Então a raiz está em .
A cada iteração, calculamos o ponto médio
avaliamos e substituímos ou por conforme o sinal de .
4) Critério de parada: .
5) Número de iterações estimado:
Após ~20 iterações chega-se em
Passo 3
Método de Newton–Raphson:
Temos e .
Fórmula de iteração:
Escolhemos um chute inicial razoável, tipo .
Iteramos até .
Exemplo de iterações:
com .
Passo 4
Comparação dos resultados:
Bisseção: ~20 iterações, raiz .
Newton–Raphson: ~4 iterações, raiz .
Newton converge muito mais rápido, mas precisa de derivada e um chute inicial bom. Bisseção é mais “chato” (muitas iterações) mas garante convergência se você achar um intervalo de ausência de descontinuidades.
Resposta
A raiz real de x approx 1.4309691 é
com precisão . Bisseção levou ~20 iterações; Newton–Raphson, ~4 iterações.