Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
2^x-3 x=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para achar as raízes reais da equação
2^x - 3x = 0
usando métodos numéricos (como bisseção e Newton–Raphson) até uma precisão . Isso faz parte de “Métodos Numéricos para Equações Não Lineares”. Para resolver, vamos precisar de:
  • Entender que uma raiz é onde . Aqui .
  • Estudar dois métodos:
    1. Bisseção (baseado em mudança de sinal)
    2. Newton–Raphson (iterativo usando derivada )

Passo 2

Antes de começar a iterar, vamos ver quantas raízes existem:
  • Calcule (>0) e (<0). Logo há uma raiz em .
  • Calcule (<0) e (>0). Logo há outra raiz em .
Então temos duas raízes reais:

Passo 3

Método da Bisseção (para x1,bis approx 0,457931,(erro<10^-6) ):
  1. Defina , .
  2. Avalie o ponto médio e .
  3. Veja o sinal de :
    • Se for <0, a raiz fica em .
    • Se for >0, fica em .
  4. Substitua o intervalo correspondente e repita até que .
Aplicando isso, depois de várias iterações, obtemos

Passo 4

Método de Newton–Raphson (para xn+1 = xn - f(xn)f'(xn), ):
  1. Relembre a fórmula geral x1,newton approx 0,457932,(erro<10^-6) onde .
  2. Escolha um palpite inicial razoável, por exemplo .
  3. Calcule iterativamente até que .
Fazendo isso, chega-se em poucas iterações a

Passo 5

Bisseção (para x2,bis approx 3,312758,(erro<10^-6) em ):
Aplicando o mesmo processo da bisseção no intervalo , obtemos após várias iterações

Passo 6

Newton–Raphson (para x2,newton approx 3,312758,(erro<10^-6) ):
  1. Agora continua valendo.
  2. Use por exemplo .
  3. Itere até convergir dentro de .
Isso nos dá em poucas iterações

Passo 7

Comparação dos resultados:
  • Ambos os métodos chegam ao mesmo valor dentro da precisão exigida.
  • A bisseção é garantida e simples, mas pode demorar mais iterações.
  • Newton–Raphson converge muito rápido (menos iterações), mas exige cálculo de derivada e um chute inicial razoável.

Resposta

As duas raízes reais, com precisão x1 approx 0,457932 e x2 approx 3,312758 , são:

Exercícios relacionados