Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para achar as raízes reais da equação
usando métodos numéricos (como bisseção e Newton–Raphson) até uma precisão
. Isso faz parte de “Métodos Numéricos para Equações Não Lineares”. Para resolver, vamos precisar de:
- Entender que uma raiz é onde
. Aqui . - Estudar dois métodos:
- Bisseção (baseado em mudança de sinal)
- Newton–Raphson (iterativo usando derivada
)
Passo 2
Antes de começar a iterar, vamos ver quantas raízes existem:
- Calcule
(>0) e (<0). Logo há uma raiz em . - Calcule
(<0) e (>0). Logo há outra raiz em .
Então temos duas raízes reais:
Passo 3
Método da Bisseção (para
):
- Defina
, . - Avalie o ponto médio
e . - Veja o sinal de
: - Se for <0, a raiz fica em
. - Se for >0, fica em
.
- Se for <0, a raiz fica em
- Substitua o intervalo correspondente e repita até que
.
Aplicando isso, depois de várias iterações, obtemos
Passo 4
Método de Newton–Raphson (para
):
- Relembre a fórmula geral
onde . - Escolha um palpite inicial razoável, por exemplo
. - Calcule iterativamente
até que .
Fazendo isso, chega-se em poucas iterações a
Passo 5
Bisseção (para
em
):
Aplicando o mesmo processo da bisseção no intervalo , obtemos após várias iterações
Aplicando o mesmo processo da bisseção no intervalo
Passo 6
Newton–Raphson (para
):
- Agora
continua valendo. - Use por exemplo
. - Itere até convergir dentro de
.
Isso nos dá em poucas iterações
Passo 7
Comparação dos resultados:
- Ambos os métodos chegam ao mesmo valor dentro da precisão exigida.
- A bisseção é garantida e simples, mas pode demorar mais iterações.
- Newton–Raphson converge muito rápido (menos iterações), mas exige cálculo de derivada e um chute inicial razoável.
Resposta
As duas raízes reais, com precisão
, são: