Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar as raízes reais da equação
usando métodos numéricos (a gente vai usar o método da bisseção e o método de Newton) até precisão
- Identificar onde estão as raízes no eixo
- Aplicar o método da bisseção (que usa mudança de sinal) para aproximar uma raiz;
- Aplicar o método de Newton (que usa derivada) para aproximar raízes;
- Comparar o desempenho dos dois.
Passo 2
Primeiro, vamos “achar” qualitativamente onde elas estão. A gente testa valores de
pra ver sinal de
.
- Em
:
logo
é raiz (e, na verdade, vai aparecer com multiplicidade 2).
2) Dividindo o polinômio por achamos o fator
, cujas raízes são
2) Dividindo o polinômio por
Então as raízes reais são
(duas vezes) e
.
Passo 3
Método da bisseção para a raiz simples
:
- A gente precisa de um intervalo
com . Testando em e :
temos mudança de sinal.
2) Bisseção: em cada passo calculamos , testamos
, e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda.
3) Para garantir erro menor que , precisamos de
2) Bisseção: em cada passo calculamos
3) Para garantir erro menor que
Fazendo as 18 iterações, a gente chega a
Passo 4
Método de Newton para as raízes
e
:
- Escrevemos
. - A fórmula de Newton é
- Para a raiz
, podemos começar em . Em poucas iterações (menos de 5) já caímos em - Para a raiz dupla
, o problema é que , o que faz o método “quebrar” (divisão por número muito pequeno). Então Newton NÃO converte bem nessa raiz dupla sem ajuste.
Passo 5
Comparando:
- Bisseção achou
em ~18 iterações de forma robusta. - Newton achou
em ~4 iterações (muito mais rápido), mas falhou em por derivada zero. - Conclusão: pra raiz simples Newton é rapidão; pra raiz múltipla bisseção (ou um Newton modificado) é mais seguro.
Resposta
As raízes reais são
com aproximação até
.