Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x^3-3,5 x^2+4 x-1,5=0

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar as raízes reais da equação
f(x)=x^3-3,5,x^2+4,x-1,5=0
usando métodos numéricos (a gente vai usar o método da bisseção e o método de Newton) até precisão . Então o conteúdo é:
- Identificar onde estão as raízes no eixo (isolamento de raízes);
- Aplicar o método da bisseção (que usa mudança de sinal) para aproximar uma raiz;
- Aplicar o método de Newton (que usa derivada) para aproximar raízes;
- Comparar o desempenho dos dois.

Passo 2

Primeiro, vamos “achar” qualitativamente onde elas estão. A gente testa valores de f(1)=1-3,5+4-1,5=0, pra ver sinal de x=2,5pmraiz2,5^2-4cdot1cdot1,52 =2,5pm0,52 ;Longrightarrow;x=1ou x=1,5 .
  1. Em :
logo é raiz (e, na verdade, vai aparecer com multiplicidade 2).
2) Dividindo o polinômio por achamos o fator , cujas raízes são
Então as raízes reais são (duas vezes) e .

Passo 3

Método da bisseção para a raiz simples f(1,4)approx-0,016, f(1,6)approx+0,036, :
  1. A gente precisa de um intervalo b-a2^N<=10^-6 Rightarrow Napprox18 iterações com xapprox1,500000(pm10^-6) . Testando em e :
temos mudança de sinal.
2) Bisseção: em cada passo calculamos , testamos , e escolhemos o subintervalo onde o sinal muda.
3) Para garantir erro menor que , precisamos de
çõ
Fazendo as 18 iterações, a gente chega a

Passo 4

Método de Newton para as raízes xn+1=xn-f(xn)f'(xn) e :
  1. Escrevemos .
  2. A fórmula de Newton é
  1. Para a raiz , podemos começar em . Em poucas iterações (menos de 5) já caímos em
  2. Para a raiz dupla , o problema é que , o que faz o método “quebrar” (divisão por número muito pequeno). Então Newton NÃO converte bem nessa raiz dupla sem ajuste.

Passo 5

Comparando:
  • Bisseção achou em ~18 iterações de forma robusta.
  • Newton achou em ~4 iterações (muito mais rápido), mas falhou em por derivada zero.
  • Conclusão: pra raiz simples Newton é rapidão; pra raiz múltipla bisseção (ou um Newton modificado) é mais seguro.

Resposta

As raízes reais são
x=1(mu
com aproximação até .

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