Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, aqui o problema é achar, com precisão ε=10⁻⁶, todas as raízes reais da equação
Isso é conteúdo de métodos numéricos (raiz de função). A gente vai precisar:
1) avaliar sinais de
2) usar o método da bisseção (que exige apenas continuidade e troca de sinal)
3) usar o método de Newton–Raphson (que precisa da derivada
Passo 2
Primeiro localizamos onde a função muda de sinal.
- Para
, e , logo . - Em
:
- Em:
Então há uma raiz em
.
- Em
: . - Em
: .
Logo outra raiz em.
Conclusão: duas raízes reais, uma em
e outra em
.
Passo 3
Método da Bisseção – ideia geral:
- Começa com
tal que . - Calcula
. - Se
ou , para. Senão substitui por ou dependendo de onde muda o sinal. - Repete até
.
a) Para a raiz em
:
- Iterações necessárias
. - Após ~20 iterações chega-se a
b) Para a raiz em
:
- Mesma lógica, ~20 iterações, obtém-se
Passo 4
Método de Newton–Raphson – fórmula
com
a) Raiz negativa (chute inicial
):
-
. -
. - Próxima iteração já cai em
.
b) Raiz positiva (chute inicial
):
-
. -
. - Mais uma iteração traz
.
Passo 5
Comparação:
- Bisseção: ~20 iterações, garante convergência linear.
- Newton: ~3–4 iterações, convergência quadrática (mais rápida), mas exige derivada e chute razoável.
Resposta
As duas raízes reais, com precisão
, são