Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
e^2 x-2 x^3-5=0

Passo 1

Beleza, aqui o problema é achar, com precisão ε=10⁻⁶, todas as raízes reais da equação
f(x)=e^2x-2x^3-5=0
Isso é conteúdo de métodos numéricos (raiz de função). A gente vai precisar:
1) avaliar sinais de pra localizar intervalos com raiz (teorema do valor intermediário),
2) usar o método da bisseção (que exige apenas continuidade e troca de sinal)
3) usar o método de Newton–Raphson (que precisa da derivada ).

Passo 2

Primeiro localizamos onde a função muda de sinal.
  • Para f(-2)=e^-4-2(-8)-5approx0.018+16-5=11,018>0, f(-1)=e^-2-2(-1)-5approx0.135+2-5=-2,865<0 e , logo .
  • Em :
    - Em :
Então há uma raiz em .
  • Em : .
  • Em : .
    Logo outra raiz em .
Conclusão: duas raízes reais, uma em e outra em .

Passo 3

Método da Bisseção – ideia geral:
  1. Começa com x1approx -1,351311com |b-a|<10^-6 tal que x2approx 0,953789com |b-a|<10^-6.
  2. Calcula .
  3. Se ou , para. Senão substitui por ou dependendo de onde muda o sinal.
  4. Repete até .
a) Para a raiz em :
  • Iterações necessárias .
  • Após ~20 iterações chega-se a
b) Para a raiz em :
  • Mesma lógica, ~20 iterações, obtém-se

Passo 4

Método de Newton–Raphson – fórmula
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
com
f'(x)=2e^2x-6x^2
a) Raiz negativa (chute inicial boxedx1approx -1,351311):
  1. boxedx2approx 0,953789
    .

  2. .
  3. Próxima iteração já cai em .
b) Raiz positiva (chute inicial ):

  1. .

  2. .
  3. Mais uma iteração traz .

Passo 5

Comparação:
  • Bisseção: ~20 iterações, garante convergência linear.
  • Newton: ~3–4 iterações, convergência quadrática (mais rápida), mas exige derivada e chute razoável.

Resposta

As duas raízes reais, com precisão x1approx -1,351311 e x2approx 0,953789 , são

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