Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x e^-x=e^3

Passo 1

Então, o enunciado diz que a gente tem de achar as raízes reais da equação
x,e^-x = e^3
com precisão varepsilon = 10^-6, usando métodos numéricos (bissecção, Newton, etc.) e depois comparar os resultados. O conteúdo principal aqui é:
- definir a função que zeramos (teoria de equações não-lineares)
- analisar seu comportamento (para ver se há raiz real)
- tentar métodos numéricos se fizer sentido

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função:
f(x) = x,e^-x - e^3
A gente normalmente precisa de um intervalo onde f mude de sinal pra aplicar bissecção ou ver se Newton faz sentido. Então vamos checar alguns valores simples:
- Em x=0:
f(0) = 0cdot e^0 - e^3 = -,e^3 < 0
  • Em x=1: f(1) = 1cdot e^-1 - e^3 = tfrac1e - e^3 approx 0,3679 - 20,085 < 0
    - Em xto +infty:
    x,e^-x to 0,,logo f(x)to -e^3<0
  • Em xto -infty: x,e^-xto -infty,,logo f(x)to -infty
    Em todos esses testes, f(x) ficou negativo. Então ainda não vimos mudança de sinal.

Passo 3

Vamos entender a forma de g(x)=x,e^-x. A teoria de função do tipo x,e^-x diz que ela tem um máximo em x=1, pois derivada
g'(x)=e^-x(1-x)
zera em x=1 e muda de + para – ali. O valor máximo é
g(1)=1cdot e^-1 = tfrac1e approx 0,3679
Ou seja, para todo xinR,
x,e^-x<= tfrac1e < 0,3679
Mas do outro lado da nossa equação a gente quer x,e^-x=e^3approx20,085. Isso é muito maior do que 0,3679.

Passo 4

Como o lado esquerdo x,e^-x nunca passa de 1/eapprox0,3679 e o lado direito e^3approx20,085 é muito maior, não há nenhum ponto em que eles se igualem. Em outras palavras, f(x)=x,e^-x-e^3 jamais atinge zero, logo não existe raiz real.

Resposta

Não existem raízes reais para a equação x,e^-x = e^3,.

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