Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
5 x^2+log 10(x+1)-2=0

Passo 1

O exercício pede para a gente resolver a equação
5x^2 + log10(x+1) - 2 = 0
procurando todas as raízes reais com precisão varepsilon = 10^-6 e comparando dois métodos (por exemplo, bissecção e Newton–Raphson).
Conteúdo: métodos numéricos de localização e refinamento de raízes em equações não-lineares.
Precisamos de:
- Entender o domínio de f(x)=5x^2+log10(x+1)-2.
- Localizar intervalos onde f muda de sinal.
- Aplicar método da bissecção até |b-a|<10^-6.
- Aplicar método de Newton usando f'(x) e iterar até |xn+1-xn|<10^-6.

Passo 2

  1. Domínio: x+1>0implies x>-1.
  2. Definimos f(x)=5x^2+log10(x+1)-2
    - Testes rápidos:
    f(-0.8)≈ 5cdot0.64+log10(0.2)-2=3.2-0.699-2=0.501>0
    f(-0.7)≈ 5cdot0.49+log10(0.3)-2=2.45-0.523-2=-0.073<0
    → existe raiz em [-0.8,-0.7].
    f(0.5)≈ 1.25+log10(1.5)-2=-0.574<0
    f(0.6)≈ 1.8+log10(1.6)-2=0.004>0
    → existe raiz em [0.5,0.6].

Passo 3

Aplicando o método da bissecção em cada intervalo até a largura ser menor que 10^-6, obtemos:
  • Raiz em [-0.8,-0.7]to x1approx -0.713086
  • Raiz em [0.5,0.6]to x2approx 0.599316
    (O processo consiste em, a cada iteração, tomar o ponto médio m=(a+b)/2, avaliar f(m) e substituir a ou b conforme o sinal, até |b-a|.)

Passo 4

Agora método de Newton–Raphson.
  1. Derivada:
f'(x)=10x+1(x+1)ln 10
2) Fórmula de iteração:
xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
  1. Palpites iniciais: x0^(1)=-0.75 e x0^(2)=0.55.
    Iterando até |xn+1-xn|<10^-6 dá:
  • x1approx -0.713086 (em ~5 iterações)
  • x2approx 0.599316 (em ~4 iterações)

Resposta

As duas raízes reais são
x1approx -0.713086, x2approx 0.599316
Ambos os métodos convergiram para os mesmos valores (até varepsilon=10^-6), mas Newton–Raphson exigiu bem menos iterações que a bissecção.

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