Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar as raízes reais da equação
usando métodos numéricos (bisseção e Newton) até uma precisão
, e depois comparar os resultados.
Conteúdo: métodos de raiz de função (bisseção e Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
Conteúdo: métodos de raiz de função (bisseção e Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
- Definir a função
. - Conhecer o passo a passo da bisseção (encontrar intervalo onde muda de sinal, dividir ao meio, repetir).
- Conhecer o passo a passo do método de Newton (usar a derivada
e a iteração ).
Passo 2
Primeiro, vamos ver quantas raízes reais essa função tem e onde elas podem estar. Note que a equação é simétrica em
(só aparece
e
), então se existir uma raiz positiva
, teremos também
.
Podemos tratar e resolver
Podemos tratar
que é uma quadrática padrão. Aí usamos a fórmula de Bhaskara para
:
Então existem duas soluções reais para
:
Como
, temos quatro raízes de
:
Agora que já temos ideia de onde estão (dois positivos ~0,5385 e ~0,9050 e seus negativos), vamos aproximá-los numericamente.
Passo 3
Teoria rápida: bisseção requer um intervalo
em que
e
têm sinais opostos. A cada passo escolhemos
e substituímos
por
ou
dependendo do sinal de
. Parámos quando
.
- Para a raiz em ~0,5385 escolhemos
. -
, . Sinais opostos: ok.
-
- Repetimos até
. O resultado final dá: - Para a raiz em ~0,905, escolhemos
. -
, . Bisseção até dá
-
Passo 4
Teoria rápida: Newton usa a derivada
e faz
Começando de um chute
:
- Para a raiz ~0,5385, usamos
. Após cerca de 5 iterações (até ) chega-se a - Para a raiz ~0,9050, usamos
. Também em ~5 iterações termina em
Passo 5
As duas técnicas convergiram pros mesmos valores, com diferenças menores que
.
- Bisseção é robusta (garante convergência) mas converge linearmente (mais lento).
- Newton converge quádruplamente (bem mais rápido) mas precisa de bom chute inicial e de derivada não nula.
Resposta
As quatro raízes reais, aproximadas com
, são:
Bisseção e Newton deram resultados coincidentes dentro da precisão pedida.