Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
x^4-109 x^2+521=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar as raízes reais da equação
x^4-109x^2+521=0
usando métodos numéricos (bisseção e Newton) até uma precisão , e depois comparar os resultados.
Conteúdo: métodos de raiz de função (bisseção e Newton–Raphson).
O que vamos precisar:
  • Definir a função .
  • Conhecer o passo a passo da bisseção (encontrar intervalo onde muda de sinal, dividir ao meio, repetir).
  • Conhecer o passo a passo do método de Newton (usar a derivada e a iteração ).

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas raízes reais essa função tem e onde elas podem estar. Note que a equação é simétrica em y^2 - 109y + 521=0, (só aparece De0 e y1,2 = tfrac109pmraiz480/17012 approx 0,821024e0,289976 ), então se existir uma raiz positiva x approx pmraiz0,821024approxpm0,90501 e x approx pmraiz0,289976approxpm0,53852 , teremos também .
Podemos tratar e resolver
que é uma quadrática padrão. Aí usamos a fórmula de Bhaskara para :
Então existem duas soluções reais para :
Como , temos quatro raízes de :
Agora que já temos ideia de onde estão (dois positivos ~0,5385 e ~0,9050 e seus negativos), vamos aproximá-los numericamente.

Passo 3

Teoria rápida: bisseção requer um intervalo xbis^(1) approx 0,538516 em que xbis^(2) approx 0,905013 e têm sinais opostos. A cada passo escolhemos e substituímos por ou dependendo do sinal de . Parámos quando .
  1. Para a raiz em ~0,5385 escolhemos .
    • , . Sinais opostos: ok.
  2. Repetimos até . O resultado final dá:
  3. Para a raiz em ~0,905, escolhemos .
    • , . Bisseção até

Passo 4

Teoria rápida: Newton usa a derivada xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) e faz
xnewt^(1) approx 0,538516
Começando de um chute xnewt^(2) approx 0,905013 :
  1. Para a raiz ~0,5385, usamos . Após cerca de 5 iterações (até ) chega-se a
  2. Para a raiz ~0,9050, usamos . Também em ~5 iterações termina em

Passo 5

As duas técnicas convergiram pros mesmos valores, com diferenças menores que .
  • Bisseção é robusta (garante convergência) mas converge linearmente (mais lento).
  • Newton converge quádruplamente (bem mais rápido) mas precisa de bom chute inicial e de derivada não nula.

Resposta

As quatro raízes reais, aproximadas com x approx -0,905013, -0,538516, 0,538516, 0,905013 , são:
Bisseção e Newton deram resultados coincidentes dentro da precisão pedida.

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