Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão
. Compare os resultados.
Passo 1
O enunciado pede para a equação
a) encontrar as raízes reais com precisão
b) usar dois métodos numéricos que estudamos (bisseção e Newton)
c) comparar os resultados.
Conteúdo: métodos de localização de raízes. Vamos precisar de
b) usar dois métodos numéricos que estudamos (bisseção e Newton)
c) comparar os resultados.
Conteúdo: métodos de localização de raízes. Vamos precisar de
- transformar em
- achar intervalos onde
muda de sinal (para bisseção) - usar a fórmula de Newton
- iterar até
.
Passo 2
Definindo
Primeiro achamos onde muda de sinal:
- Em
, ; em , . Logo há raiz em . - Em
, ; em , . Logo há raiz em .
Passo 3
Método da bisseção: em cada passo calculo
, avalio
e escolho o subintervalo onde o sinal muda. Faço até
.
- Começo com
, . - Itero cerca de 20 vezes (pois
), obtendo ao final
com comprimento do intervalo menor que
. Tomamos como raiz
Passo 4
Mesmo procedimento em
, mas fomos encurtando até atingir erro menor que
. Após cerca de 21 iterações chegamos a
Logo
Passo 5
Fórmula de Newton:
Escolho
. Itero até
.
As iterações convergem rápido:
,
,
…
parando quando a diferença cai abaixo de . Resultado final
As iterações convergem rápido:
…
parando quando a diferença cai abaixo de
Passo 6
Escolho
. Aplico a mesma fórmula até
. As iterações dão:
,
,
,
… até estabilizar em
… até estabilizar em
Resposta
Comparando os dois métodos, todas as estimativas coincidem dentro de
:
Primeira raiz:
• Bisseção:
• Newton:
Primeira raiz:
• Bisseção:
• Newton:
Segunda raiz:
• Bisseção:
• Newton:
• Bisseção:
• Newton:
Ambos métodos encontraram as mesmas raízes reais com precisão
.