Para cada uma das equações a seguir localize as raízes reais e usando os métodos estudados as encontre, caso exista existam, com precisão varepsilon=10^-6. Compare os resultados.
e^x=4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para a equação
e^x = 4x^2
a) encontrar as raízes reais com precisão
b) usar dois métodos numéricos que estudamos (bisseção e Newton)
c) comparar os resultados.
Conteúdo: métodos de localização de raízes. Vamos precisar de
  1. transformar em
  2. achar intervalos onde muda de sinal (para bisseção)
  3. usar a fórmula de Newton
  4. iterar até .

Passo 2

Definindo
f(x)=e^x-4x^2, f'(x)=e^x-8x
Primeiro achamos onde muda de sinal:
  • Em , ; em , . Logo há raiz em .
  • Em , ; em , . Logo há raiz em .

Passo 3

Método da bisseção: em cada passo calculo xb1approx 0.71484375ldots 0.71503906 , avalio xb1approx 0.715039 e escolho o subintervalo onde o sinal muda. Faço até .
  1. Começo com , .
  2. Itero cerca de 20 vezes (pois ), obtendo ao final
com comprimento do intervalo menor que . Tomamos como raiz

Passo 4

Mesmo procedimento em xb2approx 4.3078613ldots 4.3081055 , mas fomos encurtando até atingir erro menor que xb2approx 4.307983 . Após cerca de 21 iterações chegamos a
Logo

Passo 5

Fórmula de Newton:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Escolho xN1approx 0.715039 . Itero até .
As iterações convergem rápido:
,
,

parando quando a diferença cai abaixo de . Resultado final

Passo 6

Escolho xN2approx4.307954 . Aplico a mesma fórmula até . As iterações dão:
,
,
,
… até estabilizar em

Resposta

Comparando os dois métodos, todas as estimativas coincidem dentro de :
Primeira raiz:
• Bisseção:
• Newton:
Segunda raiz:
• Bisseção:
• Newton:
Ambos métodos encontraram as mesmas raízes reais com precisão .

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