Calcule kappa2(A) se
A=(rr2 & 2 2 & -1)

Passo 1

Beleza, aqui a gente quer calcular o número de condição na norma 2, A = 2 & 22 & -1 , para
Isso faz parte de análise numérica e teoria de matrizes: precisamos entender norma 2 (máxima singular value) e como jogar com autovalores de matrizes simétricas para achar e .

Passo 2

A definição básica é
kappa2(A) ;=; |A|2 ,cdot, |A^-1|2,
onde é a maior singular value de .
Como é simétrica, as singular values são os valores absolutos dos seus autovalores.

Passo 3

Primeiro a gente encontra os autovalores de det(A - lambda I) = det!2-lambda & 22 & -1-lambda =(2-lambda)(-1-lambda)-4 =lambda^2 - lambda - 6 . O polinômio característico é
lambda = 1pmraiz1+242 = 1pm52 Longrightarrow lambda1 = 3,;lambda2 = -2
Resolvendo |A|2 = sigma1 = 3
As singular values de são e . Logo

Passo 4

Agora precisamos de autovalores de A^-1 = 13,;-12 . Como |A^-1|2 = 12 é simétrica e invertível, seus autovalores invertidos são os do inverso:
As singular values de são e , ou seja e . Então

Resposta

kappa2(A) = |A|2 ,|A^-1|2 = 3 times 12 = 32

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